Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3895] mines MP 2011 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^nk^k\right)^{\!-4/n^2}\).

[concours/ex7735] mines PC 2006 Nature de la série de terme général : \(u_n=\left[\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^{2k}\right]^{-1/n^2}\).

[concours/ex2894] centrale M 1994 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(1-e^{1/k})\).

[oraux/ex4080] mines PC 2011 Nature de la série de terme général \(u_n=\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^k\right)^{\!-1/n^2}\).

[examen/ex2553] ccinp PSI 2024 Soit \(\alpha>1\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(S_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^\alpha}\) et \(R_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\).

1. Montrer que \(R_n(\alpha)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to+\infty}}0\).

2. Montrer que \(R_n(\alpha)\sim\displaystyle\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).

3. Nature de la série \(\sum\limits\displaystyle\frac{R_n(\alpha)}{S_n(\alpha)}\) ?