Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5465] centrale PC 2019 (avec Python)

On pose \(S_k(n)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^nj^k\), \(T_k(n)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^n{1\over S_k(j)}\), \(M_k=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{+\infty}{1\over S_k(j)}\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\) et \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Calculer \(S_1(n)\). En déduire que \(M_1\) est réel et donner sa valeur.

2. Montrer que, pour tout \(k\), \(M_k\) est réel.

3. Donner une fonction Python qui renvoie la valeur de \(T_k(n)\).

4. Afficher sur un même dessin les \(T_k(n)\) pour \(k\in\{1,\ldots,10\}\) et \(n\in\{1,\ldots,50\}\). mettre une conjecture sur \((M_k)_{k\geqslant 1}\).

5. Montrer cette conjecture.

[series/ex0106] Soit \(\alpha>0\). On pose \[a_n=\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^\alpha\] pour \(n\geqslant 2\). Nature de la série \(\sum\limits1/a_n\).

[planches/ex5233] mines PC 2019 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^2\).

1. Déterminer un équivalent de \(u_n\).

2. Nature de la série de terme général \(1/u_n\) ?

[concours/ex1477] centrale MP 1998 Soit \(\alpha\in\mathbf{R}\). Étudier la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha\sum\limits_{k=2}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^2}\).

[concours/ex1601] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Soit \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits k)^2\) et \(u_n=\displaystyle{1\over v_n}\). Donner un équivalent simple de \(u_n\). Étudier la convergence de \(u_n\). Étudier une méthode d’approximation numérique de \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).