Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7956] centrale PC 2008 Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n{1\over k^2+(n+k)^2}\).

[concours/ex7452] mines 2003 Soient \(\alpha\in\mathbf{R}\) et pour \(n\geqslant 2\) : \[u_n={ne^{n^2}\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n)^\alpha}\int_{n^2}^{+\infty}{e^{-t}\over t}\,dt.\]

1. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. Pour \(\alpha=1\), déterminer un équivalent de \(\sum\limits_{k=2}^nu_k\).

[concours/ex8070] mines MP 2009 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^{1/3}\right)\) ?

[concours/ex8287] centrale PC 2010

1. Montrer la convergence de la suite de terme général \[u_n=\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}-2\sqrt n.\]

2. Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Nature de la série de terme général \(v_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}\) ?

[planches/ex2671] imt MP 2017 On pose, pour \(n\geqslant 2\), \(S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\) et \(u_n=\displaystyle{1\over S_n}\).

1. Trouver un équivalent de \(S_n\).

2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).