Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2466] ccinp MP 2024

1. Soient \(a\), \(b>0\). Calculer \(\displaystyle\int_a^b\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}+t^{1/2}}\).

   On effectuera le changement de variable \(u=\sqrt t\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Justifier la convergence de : \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^{3/2}+k^{1/2}}\).

3. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que : \(\displaystyle2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\frac{1}{\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\frac{1}{\sqrt n}\).

4. Déterminer un équivalent simple de \(R_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex2333] mines M 1995 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle{n+a\over n+b}\right)^{\!\!n^2}\) (\(a\), \(b\) réels).

[planches/ex8766] centrale PC 2022 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que \(u_0>0\) et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}={(n+a)(n+b)\over(n+c)(n+d)}\) où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des réels strictement positifs.

1. Trouver un réel \(\alpha\) tel que la suite \((\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n^\alpha u_n))\) converge.

2. On suppose que cette condition est vérifiée. Donner un équivalent de \((u_n)\).

3. Déterminer une condition sur \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) pour que la série \(\sum\limits u_n\) converge.

[concours/ex5407] polytechnique MP 2007 Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\left(\displaystyle{1\over n\,!}\right)^{\!1/n}(n+1)\leqslant e\).

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).