Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2671] imt MP 2017 On pose, pour \(n\geqslant 2\), \(S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\) et \(u_n=\displaystyle{1\over S_n}\).

1. Trouver un équivalent de \(S_n\).

2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

[concours/ex2338] mines M 1995 Convergence et calcul de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant p+1}\left({1\over n-p}-{1\over n+p}\right)\).

Énoncé original : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2k\over k^2-n^2}\).

Énoncé modifié : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2l\over k^2-l^2}\).

Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}S_{n,p}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}S_{n,p}\).

[concours/ex2333] mines M 1995 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle{n+a\over n+b}\right)^{\!\!n^2}\) (\(a\), \(b\) réels).

[concours/ex8236] mines PC 2010 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(1-\displaystyle{1\over k}\right)\) ? de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(1-\displaystyle{1\over\sqrt k}\right)\) ?

[planches/ex8765] centrale PC 2022

1. Montrer que la suite \(u\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(u_n=\displaystyle{1\over n}+{1\over n+1}+\cdots+{1\over2n}\) converge, puis donner sa limite.

2. Montrer que la suite \(v\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left({1\over n+k}\right)\) converge.