Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2671] imt MP 2017 On pose, pour \(n\geqslant 2\), \(S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\) et \(u_n=\displaystyle{1\over S_n}\).

1. Trouver un équivalent de \(S_n\).

2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).

[concours/ex8070] mines MP 2009 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^{1/3}\right)\) ?

[concours/ex1472] centrale MP 1998

1. Montrer qu’il existe deux applications continues \(Y_1\) et \(Y_2\) de \(\left[1,+\infty\right[\) dans \(\mathbf{R}\) telles que, pour \(x\geqslant 1\) et \(i\in\{1,2\}\), on ait \(Y_i(x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits Y_i(x)=x\).

2. Développement asymptotique de \(Y_i\) en \(+\infty\) à trois termes.

3. On définit la suite \((u_n(x))\) par \(u_0(x)=1\) et \(u_n(x)=x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n-1}(x))\) pour \(n\geqslant 1\) et \(x\geqslant 1\). Quelle est la limite de cette suite ?

[concours/ex2338] mines M 1995 Convergence et calcul de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant p+1}\left({1\over n-p}-{1\over n+p}\right)\).

Énoncé original : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2k\over k^2-n^2}\).

Énoncé modifié : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2l\over k^2-l^2}\).

Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}S_{n,p}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}S_{n,p}\).