Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8379] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer un équivalent de \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[concours/ex4783] escp S 2002

1. Pour \(n\in \mathbf{N}\), on pose \(I_n= \displaystyle\int_0^1 {x^n\over\sqrt{1-x}}\,dx\).

   Montrer que cette intégrale est convergente. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).

   Étudier la monotonie de la suite \((I_n)\). En déduire sa convergence.

2. 1. Montrer que \((2n+1)I_{n}=2nI_{n-1}\) pour tout \(n\in \mathbf{N}^*\).

   2. En déduire la nature de la série de terme général \(v_n= \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(I_{n}) - \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(I_{n-1})\), puis la limite de la suite \((I_n)\).

3. Pour \(n \in \mathbf{N}\), on pose \(J_n =\sqrt n I_n\) et \(K_n = \sqrt{n+1}I_{n}\).

   Montrer que les suites \((J_n)\) et \((K_n)\) sont adjacentes.

   En déduire l’existence d’un réel \(\alpha\) strictement positif tel que \(I_n\sim\displaystyle{\alpha\over \sqrt n}\) au voisinage de \(+\infty\).

4. 1. A l’aide de la relation de récurrence de la question 2. a), trouver une expression de \(I_n\) utilisant \(\displaystyle{2n\choose n}\).

   2. On admettra la formule de Stirling  : au voisinage de \(+\infty\), \(n\,!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\).

      Déterminer \(\alpha\).

[concours/ex7770] ccp MP 2006

1. Étudier l’intégrabilité de \(\displaystyle{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\) sur \(\left[1-\displaystyle{1\over n},1\right[\) pour \(n\geqslant 3\) et \(p\) réel.

2. Étudier la convergence de la série de terme général : \[A_n=\int_{1-1/n}^1{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\,dx.\]

[concours/ex2333] mines M 1995 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle{n+a\over n+b}\right)^{\!\!n^2}\) (\(a\), \(b\) réels).

[planches/ex3502] mines MP 2018

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(\alpha\) réels pour que \(\sum\limits_{k\in\mathbf{N}^*}k^\alpha a^k\) converge.

2. On considère cette condition vérifiée. Donner un équivalent lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}k^\alpha a^k\).