Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7006] mines PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\). Nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

[planches/ex6909] mines PSI 2021 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de la fonction \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}\).

2. Montrer que, pour tout \(t\in D\), \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(3t)+\cdots+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits((2n-1)t)\).

3. En déduire que \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\sim{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\).

[planches/ex7255] centrale PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\).

1. Déterminer un équivalent de \(a_n\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).

2. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

3. Soit \((u_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite strictement positive qui tend vers \(+\infty\). Peut-on affirmer que la série de terme général \(\displaystyle{1\over u_0+u_1+\cdots+u_n}\) converge ?

[planches/ex8379] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer un équivalent de \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[examen/ex2977] polytechnique MP 2025 Construire une suite strictement croissante \((p_n)_{n\geqslant 2}\) d’entiers avec \(p_2=2\) telle qu’il existe \(C>0\) vérifiant, pour tout \(n\geqslant 2\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}\frac{1}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k}\geqslant C\), et telle que la série de terme général \(2^{-(p_{n+1}-p_n)}\) diverge.