Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9841] mines MP 2023 Si \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k))^2\). Déterminer la nature de \(\sum\limits\displaystyle\frac{1}{u_n}\).

[concours/ex7888] mines MP 2008 Soit \(\alpha>0\). Nature de la série de terme général : \(\displaystyle{(n\alpha)^n\over\sum\limits_{k=0}^nk\,!}\) ?

[concours/ex7553] centrale 2004 Convergence de la série \(\sum\limits a^{\textstyle1+{1\over2}+\cdots+{1\over n}}\), \(a>0\).

[oraux/ex9065] centrale PC 2013 Soit, pour \(n\geqslant 1\), \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}\).

1. Montrer qu’il existe \(\gamma\in\mathbf{R}\) tel que \(H_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n+\gamma+o(1)\).

2. Nature, suivant \(a>0\), de la série de terme général \(a^{H_n}\) ?

[oraux/ex9236] mines MP 2015 Soient \(a\) et \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Nature de la série de terme général \(u_n=a^{\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}}\) ?

[concours/ex7735] mines PC 2006 Nature de la série de terme général : \(u_n=\left[\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^{2k}\right]^{-1/n^2}\).

[concours/ex8230] mines PC 2010 Nature de la série de terme général \(u_n=(2^2\times3^3\times\cdots\times n^n)^{-4/n^2}\) ?

[oraux/ex9284] ccp PSI 2015 Pour \(\alpha>1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\).

Montrer que \(R_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}\displaystyle{1\over n^{\alpha-1}(\alpha-1)}\). Étudier la convergence de \(\displaystyle\sum\limits{R_n\over S_n}\) selon \(\alpha\).

[oraux/ex4079] mines PC 2011 Soit, pour \(n\geqslant 2\) : \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n(2-3^{1/k})\).

1. Étudier la suite de terme général \(u_n\).

2. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[oraux/ex9184] ccp PSI 2014 Soient \(\alpha>1\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Encadrer \(R_n\) et en déduire un équivalent de \(R_n\).

[concours/ex0947] centrale MP 1997 Nature de la série \[\sum\limits\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\,.\]

[concours/ex2894] centrale M 1994 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(1-e^{1/k})\).

[concours/ex8282] centrale PC 2010 Discuter, suivant \(\alpha>1\), la nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\).

[oraux/ex4080] mines PC 2011 Nature de la série de terme général \(u_n=\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^k\right)^{\!-1/n^2}\).

[examen/ex4199] ccinp PSI 2025 Soit \(\alpha>1\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(R_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}R_n(\alpha)=0\).

2. Montrer que \(R_n(\alpha)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).

[oraux/ex9407] ccp PSI 2016 Pour \(\alpha>1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Étudier la convergence de la série de terme général \(R_n/S_n\).

[concours/ex1469] centrale MP 1998

1. Étude de la fonction \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(2-e^{1/x}\right)\). Graphe.

2. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(u_n=\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(2-e^{1/n}\right)\). Étudier la suite \((u_n)\) et la série \(\sum\limits u_n\).

[concours/ex5973] centrale MP 2007 On fixe \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) converge et préciser sa limite.

2. Établir l’existence de \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. Établir l’existence de \(A\in\mathbf{R}^*\) tel que \(u_n\sim A/n^\alpha\).

4. Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n\).

[concours/ex7842] polytechnique MP 2008 Donner la nature de la série de terme général \(1/k_n\), où \(k_n\) est le \(n\)-ième nombre premier.

[oraux/ex9247] mines PSI 2015 Soient \(x\in\mathbf{R}_+^*\) et, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \[u_n={n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over n}\right).\]

1. Déterminer la nature de la série de terme général : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) est convergente ; déterminer sa limite.

2. Trouver \(\alpha\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire qu’il existe un réel \(A>0\) tel que : \(u_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}An^\alpha\).