Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2671] imt MP 2017 On pose, pour \(n\geqslant 2\), \(S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\) et \(u_n=\displaystyle{1\over S_n}\).

1. Trouver un équivalent de \(S_n\).

2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).

[planches/ex8766] centrale PC 2022 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que \(u_0>0\) et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}={(n+a)(n+b)\over(n+c)(n+d)}\) où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des réels strictement positifs.

1. Trouver un réel \(\alpha\) tel que la suite \((\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n^\alpha u_n))\) converge.

2. On suppose que cette condition est vérifiée. Donner un équivalent de \((u_n)\).

3. Déterminer une condition sur \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) pour que la série \(\sum\limits u_n\) converge.

[concours/ex8287] centrale PC 2010

1. Montrer la convergence de la suite de terme général \[u_n=\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}-2\sqrt n.\]

2. Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Nature de la série de terme général \(v_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}\) ?

[concours/ex4040] polytechnique pox P 1990 Donner un équivalent, pour \(n\) tendant vers \(+\infty\), de \[w_n=e^{-n^{1+\alpha}}\int_{n-1}^ne^{t^{1+\alpha}}\,dt.\] Convergence de \(\sum\limits w_n\).

[concours/ex2499] centrale M 1995 Nature de la série de terme général : \[u_n=\left(\sum\limits_{k\geqslant n}{(-1)^{k-n}\over k}\right)^{\!\!\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n}.\]

[concours/ex2333] mines M 1995 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle{n+a\over n+b}\right)^{\!\!n^2}\) (\(a\), \(b\) réels).

[planches/ex6746] mines MP 2021 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(b\in\mathbf{R}\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b)\) pour que la série de terme général \(u_n=a^nn^b\) diverge.

2. Si cette condition est réalisée, donner un équivalent de \(\sum\limits_{k=1}^nu_k\).

[planches/ex3502] mines MP 2018

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(\alpha\) réels pour que \(\sum\limits_{k\in\mathbf{N}^*}k^\alpha a^k\) converge.

2. On considère cette condition vérifiée. Donner un équivalent lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}k^\alpha a^k\).

[oraux/ex9265] centrale MP 2015 (avec Python)

Soit \(g:t\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle{1\over\sqrt t+t\sqrt t}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=g(n)\).

1. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. On note \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}u_k\). Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}\).

3. Montrer que \(R_n-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits{1\over\sqrt{n+1}}=O\left(\displaystyle{1\over n^{3/2}}\right)\).

4. Écrire un programme calculant la somme de la série \(\sum\limits u_n\) à \(10^{-3}\) près.