Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2977] polytechnique MP 2025 Construire une suite strictement croissante \((p_n)_{n\geqslant 2}\) d’entiers avec \(p_2=2\) telle qu’il existe \(C>0\) vérifiant, pour tout \(n\geqslant 2\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}\frac{1}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k}\geqslant C\), et telle que la série de terme général \(2^{-(p_{n+1}-p_n)}\) diverge.

[planches/ex6909] mines PSI 2021 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de la fonction \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}\).

2. Montrer que, pour tout \(t\in D\), \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(3t)+\cdots+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits((2n-1)t)\).

3. En déduire que \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\sim{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\).

[planches/ex7006] mines PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\). Nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

[concours/ex7654] mines PC 2005 Étudier, quand \(n\rightarrow+\infty\), la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) définie par : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[planches/ex7255] centrale PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\).

1. Déterminer un équivalent de \(a_n\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).

2. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

3. Soit \((u_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite strictement positive qui tend vers \(+\infty\). Peut-on affirmer que la série de terme général \(\displaystyle{1\over u_0+u_1+\cdots+u_n}\) converge ?

[planches/ex8379] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer un équivalent de \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[concours/ex4783] escp S 2002

1. Pour \(n\in \mathbf{N}\), on pose \(I_n= \displaystyle\int_0^1 {x^n\over\sqrt{1-x}}\,dx\).

   Montrer que cette intégrale est convergente. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).

   Étudier la monotonie de la suite \((I_n)\). En déduire sa convergence.

2. 1. Montrer que \((2n+1)I_{n}=2nI_{n-1}\) pour tout \(n\in \mathbf{N}^*\).

   2. En déduire la nature de la série de terme général \(v_n= \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(I_{n}) - \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(I_{n-1})\), puis la limite de la suite \((I_n)\).

3. Pour \(n \in \mathbf{N}\), on pose \(J_n =\sqrt n I_n\) et \(K_n = \sqrt{n+1}I_{n}\).

   Montrer que les suites \((J_n)\) et \((K_n)\) sont adjacentes.

   En déduire l’existence d’un réel \(\alpha\) strictement positif tel que \(I_n\sim\displaystyle{\alpha\over \sqrt n}\) au voisinage de \(+\infty\).

4. 1. A l’aide de la relation de récurrence de la question 2. a), trouver une expression de \(I_n\) utilisant \(\displaystyle{2n\choose n}\).

   2. On admettra la formule de Stirling  : au voisinage de \(+\infty\), \(n\,!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\).

      Déterminer \(\alpha\).

[concours/ex4040] polytechnique pox P 1990 Donner un équivalent, pour \(n\) tendant vers \(+\infty\), de \[w_n=e^{-n^{1+\alpha}}\int_{n-1}^ne^{t^{1+\alpha}}\,dt.\] Convergence de \(\sum\limits w_n\).

[concours/ex7452] mines 2003 Soient \(\alpha\in\mathbf{R}\) et pour \(n\geqslant 2\) : \[u_n={ne^{n^2}\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n)^\alpha}\int_{n^2}^{+\infty}{e^{-t}\over t}\,dt.\]

1. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. Pour \(\alpha=1\), déterminer un équivalent de \(\sum\limits_{k=2}^nu_k\).

[concours/ex8070] mines MP 2009 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^{1/3}\right)\) ?