Édition de feuilles d'exercices

[series/ex0106] Soit \(\alpha>0\). On pose \[a_n=\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^\alpha\] pour \(n\geqslant 2\). Nature de la série \(\sum\limits1/a_n\).

[concours/ex7888] mines MP 2008 Soit \(\alpha>0\). Nature de la série de terme général : \(\displaystyle{(n\alpha)^n\over\sum\limits_{k=0}^nk\,!}\) ?

[oraux/ex9236] mines MP 2015 Soient \(a\) et \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Nature de la série de terme général \(u_n=a^{\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}}\) ?

[concours/ex7553] centrale 2004 Convergence de la série \(\sum\limits a^{\textstyle1+{1\over2}+\cdots+{1\over n}}\), \(a>0\).

[oraux/ex9065] centrale PC 2013 Soit, pour \(n\geqslant 1\), \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}\).

1. Montrer qu’il existe \(\gamma\in\mathbf{R}\) tel que \(H_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n+\gamma+o(1)\).

2. Nature, suivant \(a>0\), de la série de terme général \(a^{H_n}\) ?

[concours/ex8230] mines PC 2010 Nature de la série de terme général \(u_n=(2^2\times3^3\times\cdots\times n^n)^{-4/n^2}\) ?

[concours/ex7735] mines PC 2006 Nature de la série de terme général : \(u_n=\left[\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^{2k}\right]^{-1/n^2}\).

[concours/ex7551] centrale 2004 Soit \(\alpha\) un réel. On pose \(u_n=\sum\limits_{k=n}^{+\infty}(k+1)^{-\alpha}\). Existence de \(u_n\). Nature de la série de terme général \(u_n\).

[oraux/ex4079] mines PC 2011 Soit, pour \(n\geqslant 2\) : \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n(2-3^{1/k})\).

1. Étudier la suite de terme général \(u_n\).

2. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[examen/ex2553] ccinp PSI 2024 Soit \(\alpha>1\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(S_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^\alpha}\) et \(R_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\).

1. Montrer que \(R_n(\alpha)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to+\infty}}0\).

2. Montrer que \(R_n(\alpha)\sim\displaystyle\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).

3. Nature de la série \(\sum\limits\displaystyle\frac{R_n(\alpha)}{S_n(\alpha)}\) ?