Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9024] escp S 2010

1. On considère une suite réelle \((a_n)_{n\in \mathbf{N}}\) de limite \(\ell\in\mathbf{R}\).

   1. Écrire la définition mathématique de la convergence de la suite \((a_n)\) vers \(\ell\).

   2. Montrer que pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(n_0\in \mathbf{N}^*\) tel que pour tout \(n\geqslant n_0\), on a : \[\left| {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k -\ell \right|\leqslant\left| {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n_0-1} (a_k -\ell) \right|+{\varepsilon\over2}\]

   3. En déduire la limite de la suite \((v_n)_n\) définie pour tout \(n\in \mathbf{N}^*\) par : \[v_n= {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k\]

2. Dans cette question, on considère la suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \[u_0 = {\pi\over4}\quad\hbox{et, pour }\quad n\geqslant 1,\quad u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n).\]

   1. Montrer que la suite \((u_n)_n\) converge et donner sa limite.

   2. Montrer qu’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(\displaystyle{1\over u_{n+1}^\alpha}-\displaystyle{1\over u_n^\alpha}\right)\) existe et est un réel non nul.

   3. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[examen/ex1009] hec S 2024 Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n)\).

1. Question de cours : donner les deux premiers termes des développements limités de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\) et \((1+x)^2\) lorsque \(x\) tend vers 0.

2. Montrer que \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_n\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\)

3. Montrer que \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\), que l’on déterminera.

4. Proposer un programme Python indice(u0,eps), qui prend en paramètre le premier terme \(u_0\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) et un paramètre \(\varepsilon\). Ce programme retourne le plus petit entier \(k\) tel que \(|u_k-\ell|<\varepsilon\).

5. Montrer que la suite \(\displaystyle{1\over u_{n+1}^2}-{1\over u_n^2}\) converge, et donner la valeur de sa limite.

6. Soit \((x_n)\) une suite réelle de limite \(x\in\mathbf{R}\). Montrer que la suite \(y_n=\displaystyle{1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}x_k\) converge vers \(x\).

7. Déterminer un équivalent de \((u_n)\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). En déduire la nature de la série de terme général \((u_n)\).

[concours/ex8240] mines PC 2010 Soit \((x_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(x_0\in\left]0,\pi/2\right[\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(x_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x_n)\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(y_n=\displaystyle{1\over x_{n+1}^2}-{1\over x_n^2}\).

1. Déterminer la limite de la suite \((x_n)\).

2. Montrer que la suite \((y_n)\) converge vers un réel \(\ell\neq0\).

3. En déduire la nature de la série de terme général \(x_n^3\).

[oraux/ex0165] tpe MP 2005 La suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) est définie par : \(a_0\in\left]0,\pi/2\right[\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(a_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a_n)\). Quelle est la nature de la série de terme général \(a_n\) ?

[examen/ex0661] imt MP 2023 On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0\in\left]0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n)\).

1. Montrer que \((u_n)\) converge vers \(0\).

2. Déterminer \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \((u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha)\) converge vers une limite non nulle.

3. Déterminer un équivalent de \(u_n\). Quelle est la nature de \(\sum\limits u_n\) ?

[planches/ex8879] ccinp MP 2022 Soit \(u\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) définie par \(u_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n)\). Pour \(k\in\mathbf{Z}\), déterminer la nature de la série \(\sum\limits(u_n)^k\).

[planches/ex9463] polytechnique MP 2023 Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(a_0=\pi/2\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(a_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a_n)\). Nature de la série de terme général \(a_n^2\) ?

[oraux/ex9049] mines PC 2013 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n\,!\over(a+1)\cdots(a+n)}\) avec \(a\in\mathbf{R}_+^*\) ?

[concours/ex7606] polytechnique MP 2005 Soit \(u\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) telle que \(u_0\in\left]0,1\right]\) et que, pour un certain \(\beta>0\) et pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}^\beta=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits u_n^\beta\). Étudier la nature de la série de terme général \(u_n\).

[planches/ex4145] imt PC 2018 Montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\over k}\) est équivalent à \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n)^2\over2}\).