Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5480] centrale PC 2019 (avec Python)

Pour \((p,q)\in\mathbf{R}^2\), on note \(a_{p,q}(n)\) le coefficient de \(X^n\) du polynôme \((X^2+pX+q)^n\). On pose \(f_{p,q}(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{p,q}(n)x^n\).

1. Montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{1-4x}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}x^n\).

2. Écrire en Python une fonction renvoyant \(a_{p,q}(n)\).

3. Écrire une fonction renvoyant \(f_{2,1}(x)\) ; tracer le graphe de \(x\longmapsto f_{2,1}(x)\sqrt{1-4x}\). Conjecture ?

4. Démontrer la conjecture précédente.

5. Tracer le graphe de \(x\longmapsto f_{0,1}(x)\sqrt{1-x^2}\). Conjecture ?

6. Démontrer la conjecture précédente.

[planches/ex3545] mines MP 2018 Soit \(\alpha\) un réel non multiple entier de \(\pi\). On pose \(f:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle{x^2+1\over x^2+2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\alpha-1}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et préciser le domaine de validité de ce développement.