Édition de feuilles d'exercices

[series/ex0561] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+t)\over1+t^2}\).

[examen/ex1755] mines MP 2024 Soit \(f:z\in\mathbf{C}\setminus\{1\}\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\frac{z}{1-z}\right)\).

1. Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence.

   On écrit \(f(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\).

2. Donner une expression sommatoire des \(a_n\).

3. Trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite \((a_n)\).

4. Donner un développement asymptotique de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(a_n)\).

[series/ex0431] Calculer les quatre premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over1-x}\).

[planches/ex0567] mines PSI 2015 Développer \(\displaystyle{\sqrt{1+x}\over\sqrt{1-x}}\) au voisinage de 0.

[planches/ex0486] télécom MP 2013 Donner le développement en série entière de \(x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{x+1\over x+2}\right)\).