Édition de feuilles d'exercices

[series/ex0500] Si \(f(x)=\displaystyle{1\over x^2+x+1}\), calculer \(f^{(36)}(0)\).

[planches/ex2755] navale PSI 2017 Développer \(f(x)=\displaystyle{1\over2+x-x^2}\) en série entière.

[planches/ex5480] centrale PC 2019 (avec Python)

Pour \((p,q)\in\mathbf{R}^2\), on note \(a_{p,q}(n)\) le coefficient de \(X^n\) du polynôme \((X^2+pX+q)^n\). On pose \(f_{p,q}(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{p,q}(n)x^n\).

1. Montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{1-4x}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}x^n\).

2. Écrire en Python une fonction renvoyant \(a_{p,q}(n)\).

3. Écrire une fonction renvoyant \(f_{2,1}(x)\) ; tracer le graphe de \(x\longmapsto f_{2,1}(x)\sqrt{1-4x}\). Conjecture ?

4. Démontrer la conjecture précédente.

5. Tracer le graphe de \(x\longmapsto f_{0,1}(x)\sqrt{1-x^2}\). Conjecture ?

6. Démontrer la conjecture précédente.

[planches/ex8423] mines PC 2022

1. Développer en série entière la fonction \(x\in\left]0,1\right[\longmapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arccos}}{\hbox{arccos}}{\mathrm{arccos}}{\mathrm{arccos}}}\nolimits(1-x)\over\sqrt x}\).

2. Donner une expression simple de la somme de cette série entière sur \(\left]-1,0\right[\).

[series/ex0567] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits4t\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\).