Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3545] mines MP 2018 Soit \(\alpha\) un réel non multiple entier de \(\pi\). On pose \(f:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle{x^2+1\over x^2+2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\alpha-1}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et préciser le domaine de validité de ce développement.

[series/ex0432] Calculer les cinq premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x\over1-x}\).

[planches/ex0484] ensai MP 2013 Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de : \[x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x+x^2).\]

[concours/ex3864] ensi M 1992 Développer en série entière : \[x\longmapsto\int_0^x{e^t-1\over t}\,dt.\]

[examen/ex1369] polytechnique MP 2024 Montrer que, pour tous \(r\in\left]0,1\right[\) et \(\theta\in\mathbf{R}\), \[\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left|{1-re^{i\theta}}\right|=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{r^n}{n}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(n\theta).\]

[planches/ex8391] mines PC 2022 On pose : \[\forall x\in\mathbf{R}_+^*,\ f(x)={\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(\sqrt[4]x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\sqrt[4]x)\over\sqrt x}\quad\hbox{et}\quad\forall x\in\mathbf{R}-*,\ f(x)={2\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\over\sqrt{-x}}.\] Montrer que \(f\) se prolonge en une fonction \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex5099] mines PSI 2019 Soit \(f:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{e^x\over4}+{3e^{-x}\over4}+{xe^x\over2}\).

1. Justifier que \(f\) est développable en série entière sur \(\mathbf{R}\).

2. On note alors \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Démontrer que, pour tout entier \(n\geqslant 2\), \(a_n\neq0\) et que \(\displaystyle{1\over a_n}\in\mathbf{N}\).

[planches/ex9924] mines MP 2023 Soient \(\tau\in\mathbf{R}\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)\). Montrer que \(f\) est développable en série entière en \(0\) et préciser le domaine exact de validité.

[planches/ex9023] ccinp PC 2022 Soit \(\theta\in\mathbf{R}\). Rayon de convergence et somme de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(n\theta)\over n\,!}x^n\) ?

[series/ex0429] Soit \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\). Montrer que : \[{1\over 1-x}\,f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(a_0+a_1+\cdots+a_n)\,x^n.\]

[series/ex0407] Trouver une série entière de somme \(\displaystyle{4x\over1+2x-3x^2}\).

[series/ex0563] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arg}\,\hbox{th}}{\hbox{arg}\,\hbox{th}}{\mathrm{arg\,th}}{\mathrm{arg\,th}}}\nolimits\left(\displaystyle{1\over2}+t\right)\).

[planches/ex0486] télécom MP 2013 Donner le développement en série entière de \(x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{x+1\over x+2}\right)\).

[oraux/ex2170] centrale PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x^2)\over x^2}\). Montrer que \(f\) est croissante sur \(\mathbf{R}_+^*\). Donner son développement en série entière au voisinage de 0.

[planches/ex2253] mines PSI 2017 Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Donner le développement en série entière de \(f:x\longmapsto\displaystyle{(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\alpha)x\over x^2-2(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\alpha)x+1}\).

[examen/ex1755] mines MP 2024 Soit \(f:z\in\mathbf{C}\setminus\{1\}\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\frac{z}{1-z}\right)\).

1. Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence.

   On écrit \(f(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\).

2. Donner une expression sommatoire des \(a_n\).

3. Trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite \((a_n)\).

4. Donner un développement asymptotique de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(a_n)\).

[series/ex0433] Calculer les cinq premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over1-x}\).

[series/ex0040] Peut-on prolonger à \(\mathbf{R}^*_-\) la fonction \(f\) définie sur \(\mathbf{R}^+\) par \(f(t)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\sqrt t\), de façon à obtenir une fonction développable en série entière ?

[series/ex0424] Trouver les quatre premiers termes de la série entière \(\displaystyle{e^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\) par division.

[examen/ex0276] mines PC 2023 Pour \(z\in\mathbf{C}\) tel que \(|z|<1\), on pose \(L(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^n}{n}\). Montrer que, pour \(|z|<1\), \(L(z)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(|1+z|)+i\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left(\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)}{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z)}\right)\).

Indication : Considérer \(f_z:t\in[0,1]\mapsto L(tz)\).