Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4524] ccp PSI 2011 Soit \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x^2-5x+6)\). Déterminer le domaine de définition de \(f\). Développer \(f\) en série entière au voisinage de 0 en précisant l’intervalle maximal de convergence.

[series/ex0565] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+t+t^2)\).

[planches/ex2379] mines PC 2017 Développer en série entière, au voisinage de 0, \[x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(x^2-\sqrt2x+1\right).\]

[oraux/ex2159] mines PC 2009 Soit \(\alpha\in\left]0,\pi/2\right[\). Développer en série entière \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\alpha+x^2)\).

[oraux/ex2180] ccp PSI 2009 La fonction \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(6-5x+x^2)\) est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ? Si tel est le cas, donner son développement.

[series/ex0422] Trouver les cinq premiers termes de la série entière \(e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\).

[concours/ex2598] tpe, int, ivp M 1995 Développer en série entière \(e^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\).

[planches/ex0536] centrale PC 2014 Montrer que la fonction \[f:x\mapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\] est développable en série entière sur un voisinage de 0. Donner ce développement.

[planches/ex8425] mines PC 2022

1. Développer \(f:x\longmapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\) en série entière de deux façons différentes.

2. En déduire, pour \(n\in\mathbf{N}\), l’égalité \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{(-1)^k\over(2k+1)\,!\,(n-k)\,!}={(\sqrt2)^n\over n\,!}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left({n\pi\over4}\right)\).

[oraux/ex2006] mines MP 2005 Développer \(f:x\mapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\) en série entière par deux méthodes différentes.

[series/ex0421] Trouver les cinq premiers termes de la série entière \(e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\) en multipliant des séries entières.

[planches/ex0443] mines MP 2013 On pose \(f:x\mapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\).

1. Justifier que \(f\) est développable en série entière, et donner une expression simple de son développement en série etnière.

2. Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{(-1)^k\over(n-2k-1)\,!\,(2k+1)\,!}={2^{n/2}\over n\,!}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left({n\pi\over4}\right)\).

[oraux/ex2100] mines MP 2008 Développer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1+t)\) en série entière autour de 0.

[concours/ex6122] centrale PC 2007 Soit \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1/(1+x))\).

1. Étudier \(f\). Trouver une fonction \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) qui coïncide avec \(f\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Trouver \((a,b)\in\mathbf{C}^2\) tel que : \[\forall x\in\mathbf{R}\qquad g'(x)=\displaystyle{a\over1+x/(1-i)}+{b\over1+x/(1+i)}.\]

3. En déduire que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0. Donner son rayon de convergence.

4. En déduire un développement en série entière de \(g\).

[series/ex0059] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\displaystyle{1\over1-2t\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\alpha+t^2}\).

[oraux/ex3933] mines MP 2011 Soit \(\alpha\in\mathbf{R}\). Trouver le domaine de définition puis développer en série entière au voisinage de 0 la fonction \(f:x\mapsto\displaystyle{1\over1-2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\alpha+x^2}\).

[oraux/ex2037] saint-cyr MP 2005 Soit \(f(x)=\displaystyle{1\over1-6x-x^2}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière sur un voisinage de l’origine et calculer les coefficients de son développement.

[oraux/ex2089] polytechnique, espci PC 2008

1. Factoriser \(P(X)=X^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits aX+1\) sur \(\mathbf{R}[X]\).

2. Décomposer \(\displaystyle{1\over P(X)}\) en éléments simples.

3. Décomposer en série entière en 0 la fonction \(x\mapsto\displaystyle{1\over P(x)}\). Donner son rayon de convergence.

[concours/ex7131] ccp MP 2005

1. Décomposer \(f(x)=\displaystyle{1\over(1+x)((2-x)}\) en éléments simples.

2. La fonction \(f\) est-elle développable en série entière ?

3. Donner un développement de \(f\) à l’ordre 3 en 0.

[planches/ex0593] centrale PC 2015 Soit \(g:x\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x)\over1-x}\).

1. Montrer que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0. Donner une expression de ce développement faisant intervenir \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}\). On pose \(g(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_nx^n\).

2. Déterminer le rayon de convergence \(R\) de cette série entière.

3. Quel est le mode de convergence sur \([-R,0]\) ?

4. Déterminer \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(-1)^{n+1}H_n\over n+1}\).