Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2180] ccp PSI 2009 La fonction \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(6-5x+x^2)\) est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ? Si tel est le cas, donner son développement.

[oraux/ex2159] mines PC 2009 Soit \(\alpha\in\left]0,\pi/2\right[\). Développer en série entière \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\alpha+x^2)\).

[series/ex0569] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+t+t^2)\).

[planches/ex9923] mines MP 2023 Expliciter le développement en série entière de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x^2-x\sqrt2+1)\) au voisinage de \(0\).

[oraux/ex4524] ccp PSI 2011 Soit \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x^2-5x+6)\). Déterminer le domaine de définition de \(f\). Développer \(f\) en série entière au voisinage de 0 en précisant l’intervalle maximal de convergence.

[oraux/ex2006] mines MP 2005 Développer \(f:x\mapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\) en série entière par deux méthodes différentes.

[series/ex0422] Trouver les cinq premiers termes de la série entière \(e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\).

[planches/ex0443] mines MP 2013 On pose \(f:x\mapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\).

1. Justifier que \(f\) est développable en série entière, et donner une expression simple de son développement en série etnière.

2. Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{(-1)^k\over(n-2k-1)\,!\,(2k+1)\,!}={2^{n/2}\over n\,!}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left({n\pi\over4}\right)\).

[planches/ex8425] mines PC 2022

1. Développer \(f:x\longmapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\) en série entière de deux façons différentes.

2. En déduire, pour \(n\in\mathbf{N}\), l’égalité \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{(-1)^k\over(2k+1)\,!\,(n-k)\,!}={(\sqrt2)^n\over n\,!}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left({n\pi\over4}\right)\).

[series/ex0421] Trouver les cinq premiers termes de la série entière \(e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\) en multipliant des séries entières.

[planches/ex0536] centrale PC 2014 Montrer que la fonction \[f:x\mapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\] est développable en série entière sur un voisinage de 0. Donner ce développement.

[concours/ex2598] tpe, int, ivp M 1995 Développer en série entière \(e^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\).

[planches/ex0598] ccp PSI 2015 Donner le développement en série entière en 0 et le rayon de convergence de \(x\mapsto x\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x+1)\).

[concours/ex6122] centrale PC 2007 Soit \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1/(1+x))\).

1. Étudier \(f\). Trouver une fonction \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) qui coïncide avec \(f\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Trouver \((a,b)\in\mathbf{C}^2\) tel que : \[\forall x\in\mathbf{R}\qquad g'(x)=\displaystyle{a\over1+x/(1-i)}+{b\over1+x/(1+i)}.\]

3. En déduire que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0. Donner son rayon de convergence.

4. En déduire un développement en série entière de \(g\).

[concours/ex7131] ccp MP 2005

1. Décomposer \(f(x)=\displaystyle{1\over(1+x)((2-x)}\) en éléments simples.

2. La fonction \(f\) est-elle développable en série entière ?

3. Donner un développement de \(f\) à l’ordre 3 en 0.

[series/ex0430] Donner la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x)\over1-x}\).

[concours/ex6171] ccp MP 2007 Développement en série entière en 0, avec rayon de convergence, de \(f:x\mapsto\displaystyle{1\over1+x}\times{1\over2-x}\).

[series/ex0059] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\displaystyle{1\over1-2t\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\alpha+t^2}\).

[oraux/ex3933] mines MP 2011 Soit \(\alpha\in\mathbf{R}\). Trouver le domaine de définition puis développer en série entière au voisinage de 0 la fonction \(f:x\mapsto\displaystyle{1\over1-2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\alpha+x^2}\).

[oraux/ex2037] saint-cyr MP 2005 Soit \(f(x)=\displaystyle{1\over1-6x-x^2}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière sur un voisinage de l’origine et calculer les coefficients de son développement.

[oraux/ex2089] polytechnique, espci PC 2008

1. Factoriser \(P(X)=X^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits aX+1\) sur \(\mathbf{R}[X]\).

2. Décomposer \(\displaystyle{1\over P(X)}\) en éléments simples.

3. Décomposer en série entière en 0 la fonction \(x\mapsto\displaystyle{1\over P(x)}\). Donner son rayon de convergence.

[planches/ex0593] centrale PC 2015 Soit \(g:x\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x)\over1-x}\).

1. Montrer que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0. Donner une expression de ce développement faisant intervenir \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}\). On pose \(g(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_nx^n\).

2. Déterminer le rayon de convergence \(R\) de cette série entière.

3. Quel est le mode de convergence sur \([-R,0]\) ?

4. Déterminer \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(-1)^{n+1}H_n\over n+1}\).

[oraux/ex2300] mines MP 2005 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^x{dt\over1+t+t^2}\). Définition de \(f\). Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0. Préciser le rayon de convergence.

[concours/ex5702] mines MP 2007 Développer en série entière \(x\mapsto\displaystyle\int_{-1}^x{dt\over1+t+t^2}\).

[oraux/ex2152] mines MP 2009 Développer en série entière \(x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^x{dt\over1+t^2+t^4}\).

[planches/ex0535] centrale MP 2014 (avec Maple)

Soit, pour \(x\in I=\left]-\pi/2,\pi/2\right[\), \(\psi(x)=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\). On admet que \(\psi\) est développable en série entière autour de 0 sur \(I\), avec un développement de la forme \(\psi(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{E_n\over(2n)\,!}x^{2n}\).

1. Calculer \(E_n\) pour \(n\in[[0,10]]\). Que remarque-t-on ?

2. Montrer que \(E_n=(-1)^{n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}{2n\choose2k}(-1)^kE_k\) (utiliser \(\psi(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x=1\)). En déduire le résultat conjecturé.

   On admet que, sur \(I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}{F_n\over(2n+1)\,!}x^{2n+1}\).

3. Montrer que les \(F_n\) sont des entiers strictement positifs (utiliser \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits'=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits^2\)).

4. Montrer que \(E_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n{2n\choose2k}F_kE_{n-k}\) (utiliser \(\psi'=\psi\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\)). Montrer que \((E_n)\) est une suite strictement croissante d’entiers.

5. Conjecturer la valeur de \(A_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n{2n\choose2k}\) et de \(B_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{2n\choose2k}\), puis démontrer cette conjecture.

[planches/ex2755] navale PSI 2017 Développer \(f(x)=\displaystyle{1\over2+x-x^2}\) en série entière.

[series/ex0499] Calculer la série de MacLaurin de \(f(x)=\displaystyle{1\over x^2+x+1}\).

[oraux/ex2185] PC 2009 Donner le développement en série entière de \(F:x\mapsto\displaystyle{2x-1\over(2+x-x^2)^2}\).

[concours/ex2797] mines M 1994 Étudier la fonction \(f(x)=\sqrt{1+x+x^2}\). Trouver son développement en série entière.

[concours/ex3192] mines M 1993 On pose \(f(x)=\sqrt{1+2x+3x^2}\). Identifier la courbe \(y=f(x)\). Montrer que \(f\) est \(C^\infty\) ; à tout ordre on a donc \[f(x)=\sum\limits_{k=0}^na_nx^n+o(x^n).\] Calculer \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\). Trouver une relation de récurrence d’ordre \(2\) linéaire entre les \(a_n\). On pose \[g(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\ ;\] montrer que le rayon de convergence de cette série entière est \(1/\sqrt3\). Montrer que \(g=f\) sur \(\left]-R,R\right[\).

[series/ex0500] Si \(f(x)=\displaystyle{1\over x^2+x+1}\), calculer \(f^{(36)}(0)\).

[series/ex0561] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+t)\over1+t^2}\).

[series/ex0407] Trouver une série entière de somme \(\displaystyle{4x\over1+2x-3x^2}\).

[examen/ex1755] mines MP 2024 Soit \(f:z\in\mathbf{C}\setminus\{1\}\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\frac{z}{1-z}\right)\).

1. Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence.

   On écrit \(f(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\).

2. Donner une expression sommatoire des \(a_n\).

3. Trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite \((a_n)\).

4. Donner un développement asymptotique de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(a_n)\).

[planches/ex3545] mines MP 2018 Soit \(\alpha\) un réel non multiple entier de \(\pi\). On pose \(f:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle{x^2+1\over x^2+2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\alpha-1}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et préciser le domaine de validité de ce développement.

[planches/ex8423] mines PC 2022

1. Développer en série entière la fonction \(x\in\left]0,1\right[\longmapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arccos}}{\hbox{arccos}}{\mathrm{arccos}}{\mathrm{arccos}}}\nolimits(1-x)\over\sqrt x}\).

2. Donner une expression simple de la somme de cette série entière sur \(\left]-1,0\right[\).

[series/ex0567] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits4t\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\).

[planches/ex8391] mines PC 2022 On pose : \[\forall x\in\mathbf{R}_+^*,\ f(x)={\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(\sqrt[4]x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\sqrt[4]x)\over\sqrt x}\quad\hbox{et}\quad\forall x\in\mathbf{R}-*,\ f(x)={2\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\over\sqrt{-x}}.\] Montrer que \(f\) se prolonge en une fonction \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}\).

[series/ex0563] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arg}\,\hbox{th}}{\hbox{arg}\,\hbox{th}}{\mathrm{arg\,th}}{\mathrm{arg\,th}}}\nolimits\left(\displaystyle{1\over2}+t\right)\).

[planches/ex2253] mines PSI 2017 Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Donner le développement en série entière de \(f:x\longmapsto\displaystyle{(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\alpha)x\over x^2-2(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\alpha)x+1}\).

[series/ex0432] Calculer les cinq premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x\over1-x}\).

[planches/ex5099] mines PSI 2019 Soit \(f:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{e^x\over4}+{3e^{-x}\over4}+{xe^x\over2}\).

1. Justifier que \(f\) est développable en série entière sur \(\mathbf{R}\).

2. On note alors \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Démontrer que, pour tout entier \(n\geqslant 2\), \(a_n\neq0\) et que \(\displaystyle{1\over a_n}\in\mathbf{N}\).

[series/ex0431] Calculer les quatre premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over1-x}\).

[oraux/ex2170] centrale PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x^2)\over x^2}\). Montrer que \(f\) est croissante sur \(\mathbf{R}_+^*\). Donner son développement en série entière au voisinage de 0.

[series/ex0040] Peut-on prolonger à \(\mathbf{R}^*_-\) la fonction \(f\) définie sur \(\mathbf{R}^+\) par \(f(t)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\sqrt t\), de façon à obtenir une fonction développable en série entière ?

[series/ex0424] Trouver les quatre premiers termes de la série entière \(\displaystyle{e^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\) par division.

[planches/ex8429] mines PC 2022 Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(n){x^{2n}\over(2n)\,!}\).

[series/ex0429] Soit \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\). Montrer que : \[{1\over 1-x}\,f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(a_0+a_1+\cdots+a_n)\,x^n.\]

[series/ex0496] Calculer la série de MacLaurin de \(\displaystyle\int\sqrt{1+x^3}\,dx\).

[planches/ex9924] mines MP 2023 Soient \(\tau\in\mathbf{R}\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)\). Montrer que \(f\) est développable en série entière en \(0\) et préciser le domaine exact de validité.

[examen/ex0276] mines PC 2023 Pour \(z\in\mathbf{C}\) tel que \(|z|<1\), on pose \(L(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^n}{n}\). Montrer que, pour \(|z|<1\), \(L(z)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(|1+z|)+i\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left(\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)}{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z)}\right)\).

Indication : Considérer \(f_z:t\in[0,1]\mapsto L(tz)\).

[planches/ex0486] télécom MP 2013 Donner le développement en série entière de \(x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{x+1\over x+2}\right)\).

[planches/ex0567] mines PSI 2015 Développer \(\displaystyle{\sqrt{1+x}\over\sqrt{1-x}}\) au voisinage de 0.

[examen/ex1369] polytechnique MP 2024 Montrer que, pour tous \(r\in\left]0,1\right[\) et \(\theta\in\mathbf{R}\), \[\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left|{1-re^{i\theta}}\right|=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{r^n}{n}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(n\theta).\]

[planches/ex5480] centrale PC 2019 (avec Python)

Pour \((p,q)\in\mathbf{R}^2\), on note \(a_{p,q}(n)\) le coefficient de \(X^n\) du polynôme \((X^2+pX+q)^n\). On pose \(f_{p,q}(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{p,q}(n)x^n\).

1. Montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{1-4x}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}x^n\).

2. Écrire en Python une fonction renvoyant \(a_{p,q}(n)\).

3. Écrire une fonction renvoyant \(f_{2,1}(x)\) ; tracer le graphe de \(x\longmapsto f_{2,1}(x)\sqrt{1-4x}\). Conjecture ?

4. Démontrer la conjecture précédente.

5. Tracer le graphe de \(x\longmapsto f_{0,1}(x)\sqrt{1-x^2}\). Conjecture ?

6. Démontrer la conjecture précédente.

[concours/ex3864] ensi M 1992 Développer en série entière : \[x\longmapsto\int_0^x{e^t-1\over t}\,dt.\]

[planches/ex0640] mines PC 2016 Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction : \[f:x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x^2\over1+x}\right).\]

[series/ex0387] Trouver une série entière dont la somme est la distribution normale : \[\int_0^xe^{-\textstyle{t^2\over2}}\,dt.\]

[series/ex0433] Calculer les cinq premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over1-x}\).

[planches/ex0484] ensai MP 2013 Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de : \[x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x+x^2).\]

[planches/ex9023] ccinp PC 2022 Soit \(\theta\in\mathbf{R}\). Rayon de convergence et somme de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(n\theta)\over n\,!}x^n\) ?