Édition de feuilles d'exercices

[series/ex0431] Calculer les quatre premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over1-x}\).

[planches/ex9023] ccinp PC 2022 Soit \(\theta\in\mathbf{R}\). Rayon de convergence et somme de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(n\theta)\over n\,!}x^n\) ?

[examen/ex0276] mines PC 2023 Pour \(z\in\mathbf{C}\) tel que \(|z|<1\), on pose \(L(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^n}{n}\). Montrer que, pour \(|z|<1\), \(L(z)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(|1+z|)+i\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left(\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)}{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z)}\right)\).

Indication : Considérer \(f_z:t\in[0,1]\mapsto L(tz)\).

[planches/ex8391] mines PC 2022 On pose : \[\forall x\in\mathbf{R}_+^*,\ f(x)={\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(\sqrt[4]x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\sqrt[4]x)\over\sqrt x}\quad\hbox{et}\quad\forall x\in\mathbf{R}-*,\ f(x)={2\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\over\sqrt{-x}}.\] Montrer que \(f\) se prolonge en une fonction \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}\).

[oraux/ex2170] centrale PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x^2)\over x^2}\). Montrer que \(f\) est croissante sur \(\mathbf{R}_+^*\). Donner son développement en série entière au voisinage de 0.

[series/ex0496] Calculer la série de MacLaurin de \(\displaystyle\int\sqrt{1+x^3}\,dx\).

[concours/ex3864] ensi M 1992 Développer en série entière : \[x\longmapsto\int_0^x{e^t-1\over t}\,dt.\]

[examen/ex1755] mines MP 2024 Soit \(f:z\in\mathbf{C}\setminus\{1\}\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\frac{z}{1-z}\right)\).

1. Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence.

   On écrit \(f(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\).

2. Donner une expression sommatoire des \(a_n\).

3. Trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite \((a_n)\).

4. Donner un développement asymptotique de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(a_n)\).

[planches/ex5099] mines PSI 2019 Soit \(f:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{e^x\over4}+{3e^{-x}\over4}+{xe^x\over2}\).

1. Justifier que \(f\) est développable en série entière sur \(\mathbf{R}\).

2. On note alors \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Démontrer que, pour tout entier \(n\geqslant 2\), \(a_n\neq0\) et que \(\displaystyle{1\over a_n}\in\mathbf{N}\).

[planches/ex8429] mines PC 2022 Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(n){x^{2n}\over(2n)\,!}\).