Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2185] PC 2009 Donner le développement en série entière de \(F:x\mapsto\displaystyle{2x-1\over(2+x-x^2)^2}\).

[concours/ex3192] mines M 1993 On pose \(f(x)=\sqrt{1+2x+3x^2}\). Identifier la courbe \(y=f(x)\). Montrer que \(f\) est \(C^\infty\) ; à tout ordre on a donc \[f(x)=\sum\limits_{k=0}^na_nx^n+o(x^n).\] Calculer \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\). Trouver une relation de récurrence d’ordre \(2\) linéaire entre les \(a_n\). On pose \[g(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\ ;\] montrer que le rayon de convergence de cette série entière est \(1/\sqrt3\). Montrer que \(g=f\) sur \(\left]-R,R\right[\).

[planches/ex9023] ccinp PC 2022 Soit \(\theta\in\mathbf{R}\). Rayon de convergence et somme de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(n\theta)\over n\,!}x^n\) ?

[series/ex0407] Trouver une série entière de somme \(\displaystyle{4x\over1+2x-3x^2}\).

[planches/ex8423] mines PC 2022

1. Développer en série entière la fonction \(x\in\left]0,1\right[\longmapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arccos}}{\hbox{arccos}}{\mathrm{arccos}}{\mathrm{arccos}}}\nolimits(1-x)\over\sqrt x}\).

2. Donner une expression simple de la somme de cette série entière sur \(\left]-1,0\right[\).