Édition de feuilles d'exercices

[series/ex0422] Trouver les cinq premiers termes de la série entière \(e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\).

[planches/ex0443] mines MP 2013 On pose \(f:x\mapsto e^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\).

1. Justifier que \(f\) est développable en série entière, et donner une expression simple de son développement en série etnière.

2. Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{(-1)^k\over(n-2k-1)\,!\,(2k+1)\,!}={2^{n/2}\over n\,!}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left({n\pi\over4}\right)\).

[oraux/ex2100] mines MP 2008 Développer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1+t)\) en série entière autour de 0.

[concours/ex6122] centrale PC 2007 Soit \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1/(1+x))\).

1. Étudier \(f\). Trouver une fonction \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) qui coïncide avec \(f\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Trouver \((a,b)\in\mathbf{C}^2\) tel que : \[\forall x\in\mathbf{R}\qquad g'(x)=\displaystyle{a\over1+x/(1-i)}+{b\over1+x/(1+i)}.\]

3. En déduire que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0. Donner son rayon de convergence.

4. En déduire un développement en série entière de \(g\).

[concours/ex7131] ccp MP 2005

1. Décomposer \(f(x)=\displaystyle{1\over(1+x)((2-x)}\) en éléments simples.

2. La fonction \(f\) est-elle développable en série entière ?

3. Donner un développement de \(f\) à l’ordre 3 en 0.