Édition de feuilles d'exercices

[series/ex0432] Calculer les cinq premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x\over1-x}\).

[planches/ex8391] mines PC 2022 On pose : \[\forall x\in\mathbf{R}_+^*,\ f(x)={\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(\sqrt[4]x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\sqrt[4]x)\over\sqrt x}\quad\hbox{et}\quad\forall x\in\mathbf{R}-*,\ f(x)={2\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\over\sqrt{-x}}.\] Montrer que \(f\) se prolonge en une fonction \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex5480] centrale PC 2019 (avec Python)

Pour \((p,q)\in\mathbf{R}^2\), on note \(a_{p,q}(n)\) le coefficient de \(X^n\) du polynôme \((X^2+pX+q)^n\). On pose \(f_{p,q}(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{p,q}(n)x^n\).

1. Montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{1-4x}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}x^n\).

2. Écrire en Python une fonction renvoyant \(a_{p,q}(n)\).

3. Écrire une fonction renvoyant \(f_{2,1}(x)\) ; tracer le graphe de \(x\longmapsto f_{2,1}(x)\sqrt{1-4x}\). Conjecture ?

4. Démontrer la conjecture précédente.

5. Tracer le graphe de \(x\longmapsto f_{0,1}(x)\sqrt{1-x^2}\). Conjecture ?

6. Démontrer la conjecture précédente.

[series/ex0429] Soit \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\). Montrer que : \[{1\over 1-x}\,f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(a_0+a_1+\cdots+a_n)\,x^n.\]

[oraux/ex2170] centrale PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x^2)\over x^2}\). Montrer que \(f\) est croissante sur \(\mathbf{R}_+^*\). Donner son développement en série entière au voisinage de 0.

[series/ex0407] Trouver une série entière de somme \(\displaystyle{4x\over1+2x-3x^2}\).

[series/ex0387] Trouver une série entière dont la somme est la distribution normale : \[\int_0^xe^{-\textstyle{t^2\over2}}\,dt.\]

[planches/ex0486] télécom MP 2013 Donner le développement en série entière de \(x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{x+1\over x+2}\right)\).

[planches/ex2253] mines PSI 2017 Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Donner le développement en série entière de \(f:x\longmapsto\displaystyle{(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\alpha)x\over x^2-2(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\alpha)x+1}\).

[series/ex0563] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arg}\,\hbox{th}}{\hbox{arg}\,\hbox{th}}{\mathrm{arg\,th}}{\mathrm{arg\,th}}}\nolimits\left(\displaystyle{1\over2}+t\right)\).

[examen/ex0276] mines PC 2023 Pour \(z\in\mathbf{C}\) tel que \(|z|<1\), on pose \(L(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^n}{n}\). Montrer que, pour \(|z|<1\), \(L(z)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(|1+z|)+i\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left(\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)}{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z)}\right)\).

Indication : Considérer \(f_z:t\in[0,1]\mapsto L(tz)\).

[planches/ex8423] mines PC 2022

1. Développer en série entière la fonction \(x\in\left]0,1\right[\longmapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arccos}}{\hbox{arccos}}{\mathrm{arccos}}{\mathrm{arccos}}}\nolimits(1-x)\over\sqrt x}\).

2. Donner une expression simple de la somme de cette série entière sur \(\left]-1,0\right[\).