Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0484] ensai MP 2013 Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de : \[x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x+x^2).\]

[planches/ex8391] mines PC 2022 On pose : \[\forall x\in\mathbf{R}_+^*,\ f(x)={\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(\sqrt[4]x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\sqrt[4]x)\over\sqrt x}\quad\hbox{et}\quad\forall x\in\mathbf{R}-*,\ f(x)={2\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt[4]{-x/4})\over\sqrt{-x}}.\] Montrer que \(f\) se prolonge en une fonction \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}\).

[examen/ex0276] mines PC 2023 Pour \(z\in\mathbf{C}\) tel que \(|z|<1\), on pose \(L(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^n}{n}\). Montrer que, pour \(|z|<1\), \(L(z)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(|1+z|)+i\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left(\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)}{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z)}\right)\).

Indication : Considérer \(f_z:t\in[0,1]\mapsto L(tz)\).

[planches/ex8423] mines PC 2022

1. Développer en série entière la fonction \(x\in\left]0,1\right[\longmapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arccos}}{\hbox{arccos}}{\mathrm{arccos}}{\mathrm{arccos}}}\nolimits(1-x)\over\sqrt x}\).

2. Donner une expression simple de la somme de cette série entière sur \(\left]-1,0\right[\).

[planches/ex5099] mines PSI 2019 Soit \(f:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{e^x\over4}+{3e^{-x}\over4}+{xe^x\over2}\).

1. Justifier que \(f\) est développable en série entière sur \(\mathbf{R}\).

2. On note alors \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Démontrer que, pour tout entier \(n\geqslant 2\), \(a_n\neq0\) et que \(\displaystyle{1\over a_n}\in\mathbf{N}\).