Édition de feuilles d'exercices

[series/ex0433] Calculer les cinq premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over1-x}\).

[planches/ex5099] mines PSI 2019 Soit \(f:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{e^x\over4}+{3e^{-x}\over4}+{xe^x\over2}\).

1. Justifier que \(f\) est développable en série entière sur \(\mathbf{R}\).

2. On note alors \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Démontrer que, pour tout entier \(n\geqslant 2\), \(a_n\neq0\) et que \(\displaystyle{1\over a_n}\in\mathbf{N}\).

[series/ex0407] Trouver une série entière de somme \(\displaystyle{4x\over1+2x-3x^2}\).

[series/ex0431] Calculer les quatre premiers termes non nuls de la série entière \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over1-x}\).

[planches/ex3545] mines MP 2018 Soit \(\alpha\) un réel non multiple entier de \(\pi\). On pose \(f:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle{x^2+1\over x^2+2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\alpha-1}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et préciser le domaine de validité de ce développement.