Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2185] PC 2009 Donner le développement en série entière de \(F:x\mapsto\displaystyle{2x-1\over(2+x-x^2)^2}\).

[concours/ex2797] mines M 1994 Étudier la fonction \(f(x)=\sqrt{1+x+x^2}\). Trouver son développement en série entière.

[concours/ex3864] ensi M 1992 Développer en série entière : \[x\longmapsto\int_0^x{e^t-1\over t}\,dt.\]

[series/ex0561] Développer en série entière la fonction : \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+t)\over1+t^2}\).

[planches/ex0486] télécom MP 2013 Donner le développement en série entière de \(x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{x+1\over x+2}\right)\).

[planches/ex3545] mines MP 2018 Soit \(\alpha\) un réel non multiple entier de \(\pi\). On pose \(f:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle{x^2+1\over x^2+2x\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\alpha-1}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0 et préciser le domaine de validité de ce développement.

[planches/ex8429] mines PC 2022 Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(n){x^{2n}\over(2n)\,!}\).

[oraux/ex2170] centrale PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x^2)\over x^2}\). Montrer que \(f\) est croissante sur \(\mathbf{R}_+^*\). Donner son développement en série entière au voisinage de 0.

[series/ex0424] Trouver les quatre premiers termes de la série entière \(\displaystyle{e^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\) par division.

[examen/ex0276] mines PC 2023 Pour \(z\in\mathbf{C}\) tel que \(|z|<1\), on pose \(L(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^n}{n}\). Montrer que, pour \(|z|<1\), \(L(z)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(|1+z|)+i\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left(\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)}{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z)}\right)\).

Indication : Considérer \(f_z:t\in[0,1]\mapsto L(tz)\).