Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0593] centrale PC 2015 Soit \(g:x\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x)\over1-x}\).

1. Montrer que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0. Donner une expression de ce développement faisant intervenir \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}\). On pose \(g(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_nx^n\).

2. Déterminer le rayon de convergence \(R\) de cette série entière.

3. Quel est le mode de convergence sur \([-R,0]\) ?

4. Déterminer \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(-1)^{n+1}H_n\over n+1}\).

[concours/ex7131] ccp MP 2005

1. Décomposer \(f(x)=\displaystyle{1\over(1+x)((2-x)}\) en éléments simples.

2. La fonction \(f\) est-elle développable en série entière ?

3. Donner un développement de \(f\) à l’ordre 3 en 0.

[concours/ex5702] mines MP 2007 Développer en série entière \(x\mapsto\displaystyle\int_{-1}^x{dt\over1+t+t^2}\).

[oraux/ex2300] mines MP 2005 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^x{dt\over1+t+t^2}\). Définition de \(f\). Montrer que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0. Préciser le rayon de convergence.

[oraux/ex2102] mines MP 2008 Développer en série entière autour de 0 la fonction \(x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^x{dt\over t^4+t^2+1}\).

[planches/ex0535] centrale MP 2014 (avec Maple)

Soit, pour \(x\in I=\left]-\pi/2,\pi/2\right[\), \(\psi(x)=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\). On admet que \(\psi\) est développable en série entière autour de 0 sur \(I\), avec un développement de la forme \(\psi(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{E_n\over(2n)\,!}x^{2n}\).

1. Calculer \(E_n\) pour \(n\in[[0,10]]\). Que remarque-t-on ?

2. Montrer que \(E_n=(-1)^{n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}{2n\choose2k}(-1)^kE_k\) (utiliser \(\psi(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x=1\)). En déduire le résultat conjecturé.

   On admet que, sur \(I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}{F_n\over(2n+1)\,!}x^{2n+1}\).

3. Montrer que les \(F_n\) sont des entiers strictement positifs (utiliser \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits'=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits^2\)).

4. Montrer que \(E_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n{2n\choose2k}F_kE_{n-k}\) (utiliser \(\psi'=\psi\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\)). Montrer que \((E_n)\) est une suite strictement croissante d’entiers.

5. Conjecturer la valeur de \(A_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n{2n\choose2k}\) et de \(B_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{2n\choose2k}\), puis démontrer cette conjecture.

[series/ex0500] Si \(f(x)=\displaystyle{1\over x^2+x+1}\), calculer \(f^{(36)}(0)\).

[planches/ex2755] navale PSI 2017 Développer \(f(x)=\displaystyle{1\over2+x-x^2}\) en série entière.

[concours/ex3192] mines M 1993 On pose \(f(x)=\sqrt{1+2x+3x^2}\). Identifier la courbe \(y=f(x)\). Montrer que \(f\) est \(C^\infty\) ; à tout ordre on a donc \[f(x)=\sum\limits_{k=0}^na_nx^n+o(x^n).\] Calculer \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\). Trouver une relation de récurrence d’ordre \(2\) linéaire entre les \(a_n\). On pose \[g(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\ ;\] montrer que le rayon de convergence de cette série entière est \(1/\sqrt3\). Montrer que \(g=f\) sur \(\left]-R,R\right[\).

[concours/ex2797] mines M 1994 Étudier la fonction \(f(x)=\sqrt{1+x+x^2}\). Trouver son développement en série entière.