[oraux/ex0920] centrale PSI 2010 Soit \(\mathscr{H}\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) constitué de matrices diagonalisables. On veut montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathscr{H}=P\mathscr{S}_2(\mathbf{R})P^{-1}\).
[oraux/ex0920]
Montrer que \(\mathscr{H}\) contient une matrice non inversible non nulle.
Montrer que, par conjugaison, on peut se ramener à \(\mathscr{H}=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A,B,C)\) où \(A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\), \(C=\left(\begin{array}{cc}1&\omega^2\\1&0\end{array}\right)\) avec \(\omega\in\mathbf{R}_+^*\).
En déduire le résultat.
[planches/ex4589] ens PC 2019 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables dans \(\mathbf{R}\).
[planches/ex4589]
Montrer que \(I_2\in V\).
Donner un exemple de tel hyperplan \(V\).
Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}VP\) contienne toutes les matrices diagonales.
Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(Q^{-1}VQ=\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).
[concours/ex3278] ens lyon M 1993 Sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on définit la norme \(\left\|A\right\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\). Soit \(\mathscr{U}_n\) l’ensemble des matrices unitaires d’ordre \(n\).
[concours/ex3278]
Montrer que, pour tout \(U\) de \(\mathscr{U}_n\) et tout \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a : \[\left\|UA\right\|=\left\|AU\right\|=\left\|A\right\|.\] On considère des matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{U}_n\) et on pose \(C=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose \(AC=CA\) et \(\left\|I-B\right\|<\sqrt2\). On veut montrer que \(AB=BA\).
Montrer que \(A\) et \(BAB^{-1}\) commutent.
Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{U}_n\), des complexes \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) de module \(1\) et une permutation \(\sigma\) de \(\{1,\ldots,n\}\) tels que \(U^*AU=D\) et \(U^*BAB^{-1}U=D'\) avec \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) et \(D'=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_{\sigma(1)},\ldots,\lambda_{\sigma(n)})\).
Conclure.
[oraux/ex5025] polytechnique MP 2012
[oraux/ex5025]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(P\) inversible telle que \({}^tPAP\) et \({}^tPBP\) soient diagonales.
Le résultat est-il encore vrai si l’on suppose simplement \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{+}(\mathbf{R})\) ?
[planches/ex1464] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(A^*={}^t\overline A\) et on introduit l’ensemble \(U_n(\mathbf{C})\) des matrices unitaires \(A\), matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^*A=I_n\). On admet que toute matrice unitaire est unitairement semblable à une matrice diagonale.
[planches/ex1464]
On pose, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\) et \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A^*A}\).
Soient \(A\) et \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\|I_n-[A,B]\|\leqslant\sqrt2\|I_n-A\|\times\|I_n-B\|\).
Indication : On pourra montrer que, si \((C,P)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\times U_n(\mathbf{C})\), \(\|CP\|=\|PC\|=\|C\|\).
Soient \(A\), \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(A\) commute avec \([A,B]\) et que \(\|I_n-B\|<\sqrt2\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.
[oraux/ex3512] ens paris MP 2011 Soient \(N\) un entier \(\geqslant 2\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant N}\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\). On suppose qu’il existe \(m\in\mathbf{N}\) tel que \(A^m\) a ses coefficients strictement positifs. On note \(\Omega_A=\{\omega\in\{1,\ldots,N\},\ \forall n\in\mathbf{Z},\ a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\}\).
[oraux/ex3512]
Montrer que \(\Omega_A\) est non vide. Soit \(\Theta:(u_n)_{n\in\mathbf{Z}}\mapsto(u_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). Montrer que \(\Theta\) induit une bijection de \(\Omega_A\) sur \(\Omega_A\).
On appelle orbite tout ensemble du type \(\{\Theta^n(\omega),\ n\in\mathbf{N}\}\) avec \(\omega\in\Omega_A\). On note \(\mathscr{O}_f\) l’ensemble des orbites finies. Soit \(g:x\mapsto\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{C\in\mathscr{O}_f}{1\over1-x^{\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(C)}}\). Montrer que \(g\) est définie au voisinage de 0. Montrer que \(g\) est une fraction rationnelle ; l’exprimer en fonction de \(A\).
[concours/ex1353] ens paris MP 1998 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) deux matrices hermitiennes positives. Montrer qu’il existe \(T\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(T^*AT\) et \(T^*BT\) soient diagonales.
[concours/ex1353]
[examen/ex3558] mines PSI 2025 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables sur \(\mathbf{R}\).
[examen/ex3558]
Donner un exemple de tel hyperplan.
Soit \(F=\left\{\pmatrix{a&b\cr-b&a}\right\}_{(a,b)\in\mathbf{R}^2}\). Montrer que \(F\cap V\neq\{0\}\) et en déduire que \(I_2\in V\).
On munit \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) de son produit scalaire canonique. Quelle est la dimension de \(V^\perp\) ?
Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(QVQ^{-1}=S_2(\mathbf{R})\).
[oraux/ex0471] polytechnique MP 2005 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(\{X\in\mathbf{C}^n\mid X^*AX=X^*BX=0\}=\{0\}\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) et \(P^*BP\) soient triangulaires supérieures.
[oraux/ex0471]
[planches/ex0497] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soit \(A\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\), telle qu’il existe \(n_0\) pour lequel tous les coefficients de \(A^{n_0}\) sont strictement positifs. On note \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_k)_{k\in\mathbf{Z}}\) dans \([[1,N]]^2\) telles que, pour tout \(k\in\mathbf{Z}\), \(A_{\omega_k,\omega_{k+1}}=1\).
[planches/ex0497]
Montrer que \(\Omega\) n’est pas vide.
Soit \(\pi_n\) le nombre d’éléments de \(\Omega\) qui sont \(n\)-périodiques. Montrer que le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{\pi_n\over n}x^n\) est strictement positif.
Montrer que \(\xi(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_n\over n}x^n\right)\) est une fraction rationnelle de \(\mathbf{Q}(X)\).
[planches/ex3199] polytechnique MP 2018 Lorsque \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) on pose \(N(M)=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\).
[planches/ex3199]
Montrer que \(N\) est une norme sous-multiplicative, invariante par la conjugaison des éléments du groupe orthogonal.
Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). On note \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose que \(N(B-I_3)<2\) et que \(A\) commute avec \([A,B]\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.
Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). Montrer que \(N(I-[A,B])\leqslant 2N(I-A)\,N(I-B)\).
[concours/ex8869] ens paris MP 2010 Soient \(m\) un entier \(\geqslant 2\), \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant m}\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients appartiennent à \(\{0,1\}\) et telle qu’il existe \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\) tel que tous les coefficients de \(A^p\) soient \(>0\). On note \(F\) l’ensemble des fonctions de \(\mathbf{Z}\) dans \(\{1,\ldots,m\}\), \(\theta\) l’application de \(F\) dans \(F\) qui à la suite \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) associe la suite \((\omega_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). On note enfin \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) appartenant à \(F\) telles que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\).
[concours/ex8869]
Vérifier que \(\theta\) est une bijection de \(F\) sur \(F\), que \(\Omega\) est non vide.
Pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soient \(P_n\) l’ensemble des points fixes de \(\theta^n\) appartenant à \(\Omega\), \(\pi_n\) le cardinal de \(P_n\), \(P=\mathop{\bigcup}\limits_{n\in\mathbf{N}^*}P_n\). Montrer qu’existe \(R\) dans \(\mathbf{Q}(X)\) dont 0 n’est pas pôle et \(\eta>0\) tels que, pour \(x\in\left]-\eta,\eta\right[\), on ait : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_nx^n\over n}\right)=R(x)\).
Pour \(\omega\) dans \(P\), soit \(p(\omega)\) le plus petit \(n\) de \(\mathbf{N}^*\) tel que \(\omega\) appartienne à \(P_n\). Enfin, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soit \(Q_n\) l’ensemble des \(\omega\) de \(P\) tels que \(p(\omega)=n\). On définit une relation \(\sim\) sur \(P\) par : \(\omega\sim\omega'\) si et seulement s’il existe \(k\) dans \(\mathbf{Z}\) tel que \(\theta^k(\omega)=\omega'\). Vérifier que c’est une relation d’équivalence sur \(P\), que \(p\) est constante sur les classes de \(\sim\). Si \(\widetilde P\) est l’ensemble des classes d’équivalence de \(\sim\) et \(\tilde p\) la fonction déduite de \(p\) sur \(\widetilde P\), montrer, pour \(x\) réel assez près de 0, l’égalité : \(R(x)=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{u\in\widetilde P}{1\over1-x^{\tilde p(u)}}\).
[oraux/ex3507] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011 Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mu_M\) le polynôme minimal de \(M\).
[oraux/ex3507]
Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Exprimer \(\mu_{A^{-1}}\) en fonction de \(\mu_A\).
Soit \(A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\). On suppose que 1 et \(-1\) ne sont pas racines de \(\mu_A\). Montrer que \(\mu_A\) est un polynôme réciproque de degré pair.
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que : \(\mu_A=\mu_B\) et \(\mu_A\) est irréductible. Montrer que \(A\) et \(B\) sont orthogonalement semblables.
[oraux/ex0464] centrale 2004 Soit \(D\) une matrice diagonale réelle de taille \(n\), de valeurs propres notées \(\lambda_1<\ldots<\lambda_n\). On se donne une matrice symétrique réelle \(V\), et pour \(\varepsilon>0\), on note \(\mu_1\leqslant\ldots\leqslant\mu_n\) les valeurs propres de \(M(\varepsilon)=D+\varepsilon V\) ; montrer que, pour tout \(i\), \(\mu_i\) admet un développement limité à tous ordres en \(\varepsilon\) lorsque ce dernier tend vers 0. Déterminer les deux premiers termes du développement.
[oraux/ex0464]
[planches/ex6087] ens saclay, ens rennes MP 2021
[planches/ex6087]
Pour \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), montrer que : \[\left|\matrix{A&B\cr0&C}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(C),\quad\left|\matrix{A&B\cr B&A}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A-B)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+B),\quad\left|\matrix{A&-B\cr B&A}\right|\geqslant 0.\]
Le but de l’exercice est de démontrer que, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on a \(AB=0\) si et seulement si, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\).
Montrer le sens direct.
Soient \(M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et \(N\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que, pour tout \(t\in\mathbf{R}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M-tN)=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(N)\neq\{0\}\).
En déduire que si \(A\) et \(B\) sont deux éléments de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) tels que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\), alors il existe un vecteur propre de \(A\) appartenant au noyau de \(B\).
[concours/ex0115] polytechnique PC 1996 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles, \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) les valeurs propres supposées distinctes de \(A\) ; \(x_1\), … , \(x_n\) une base orthonormée de vecteurs propres. Trouver un développement limité en \(0\) des valeurs propres \(\mu_i\) de \(A+\varepsilon B\) sous la forme : \[\mu_i=\lambda_i+\varepsilon\lambda_{i1}+\varepsilon^2\lambda_{i2}+ \cdots+\varepsilon^n\lambda_{in}+o(\varepsilon^n)\,.\] Même question pour les vecteurs propres \(y_i\).
[concours/ex0115]
[examen/ex3263] mines MP 2025 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le nombre de matrices \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2\).
[examen/ex3263]
[oraux/ex0747] polytechnique MP 2009 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour toute matrice inversible \(P\), \(PS\) soit encore symétrique. Que dire de \(S\) ? Donner deux méthodes.
[oraux/ex0747]
[planches/ex3198] polytechnique MP 2018 Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\in\mathbf{R}\). Déterminer le lieu \(L\) dans \(\mathbf{R}^2\) de la diagonale des matrices de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) c’est-à-dire : \[L=\left\{\vphantom{|_|}(S_{1,1},S_{2,2}),\ S\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\hbox{ et }\chi_S=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\right\}.\]
[planches/ex3198]
[oraux/ex3600] polytechnique MP 2011 Quelles sont les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \(PA\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) ?
[oraux/ex3600]
[concours/ex6253] ens MP 2006 Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(2n\) et de norme \(\|\ \|\), \(F\) un sous-espace de \(E\) de dimension \(n\), \(u\in\mathscr{L}(F)\) et \(p\) la projection orthogonale de \(E\) sur \(F\). Montrer l’équivalence entre :
[concours/ex6253]
\(\forall x\in F\), \(\|u(x)\|\leqslant\|x\|\) ;
\(\exists v\in\mathscr{O}(E)\), \(u=p\mathbin{\circ} v_{|F}\).
[concours/ex3747] centrale M 1992 Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension finie et \(f\) une isométrie de \(E\).
[concours/ex3747]
Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) est paire, alors \(f\) est une isométrie positive.
On suppose que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), soit \(g\) une isométrie telle que \(fg=gf\). Montrer que \(g\) est positive.
[oraux/ex0739] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009
[oraux/ex0739]
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et \(P^{-1}AP\) soit diagonale.
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\) et \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits B=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B|\neq2\). On suppose de plus que \(A\) et \(B\) n’ont pas de vecteur propre commun. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) soient symétriques.
On fait sur \(A\) les mêmes hypothèses qu’à la question précédente. On suppose qu’il existe \((n_1,\ldots,n_k,m_1,\ldots,m_k)\in\mathbf{Z}^{2k}\) tel que : \(A^{n_1}B^{m_1}\ldots A^{n_k}B^{m_k}=I_2\).
Montrer que \(A^{-n_1}B^{-m_1}\ldots A^{-n_k}B^{-m_k}=I_2\).
[oraux/ex8834] ens PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de spectre réel. On suppose que, pour tout \(i\in[[1,n]]\), \(a_{i,i}=1\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\neq i}a_{i,j}\leqslant 1\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\) appartient à \([0,1]\).
[oraux/ex8834]
[planches/ex1711] polytechnique MP 2017 Soient \(n\) et \(d\) dans \(\mathbf{N}^*\). Soient \(M_1\), … , \(M_n\) dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kM_k=I_d\). On définit l’endomorphisme \(L\), de l’espace vectoriel \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) dans lui-même, par l’égalité \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kXM_k\).
[planches/ex1711]
Enfin, si \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), on écrit \(X\geqslant 0\) lorsque, pour tout \(Y\in\mathscr{M}_{d,1}(\mathbf{R})\), \({}^tYXY\geqslant 0\).
Soit \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\). Montrer que, si \(X\geqslant 0\), alors \(L(X)\geqslant 0\).
Montrer l’existence de \(p\in\mathbf{N}^*\), de \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbf{R})\) vérifiant \({}^tVV=I_d\), et d’un morphisme d’algèbres \(\pi\), de \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) vers \(\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), tel que \(\pi({}^tX)={}^t(\pi(X))\) et \(L(X)={}^tV\pi(X)V\), pour tout \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\).
Montrer que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L({}^tXX)-{}^t(L(X))L(X)\geqslant 0\).
[oraux/ex5300] mines MP 2012 Soit \(A=(a_{i,j})\in {\cal S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\in\{1,\nobreak\ldots\unskip\nobreak ,n\}\), \(a_{i,i}=1\) et \(\sum\limits_{j=1}^n|a_{i,j}|\leqslant 2\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\in[0,1]\).
[oraux/ex5300]
[planches/ex8524] centrale MP 2022 (avec Python)
[planches/ex8524]
Python
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(\theta\in\mathbf{R}\) et \((p,q)\in[[1,n]]\) avec \(p\neq q\), on note \(\Omega_{p,q}(\theta)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice dont les coefficients d’indices \((p,p)\) et \((q,q)\) valent \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), les autres coefficients diagonaux valant 1, et \([\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=-[\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=sin\theta\). Tous les autres coefficients sont nuls.
Coder une fonction Python qui renvoie la matrice \(\Omega_{p,q}(\theta)\).
Coder une fonction Python qui, pour une matrice \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), renvoie un couple \((p,q)\in[[1,n]]^2\) avec \(p<q\) tel que \(|a_{p,q}|=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_{i,j}|\).
Coder une fonction Python prenant en argument \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et qui renvoie la matrice \(B=\Omega_{p,q}(\theta)^TA\Omega_{p,q}(\theta)\) où \((p,q)\) est défini comme précédemment et \(\theta\in\left[\displaystyle-{\pi\over4},{\pi\over4}\right]\) vérifie \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits(2\theta)=\displaystyle{a_{p,p}-a_{q,q}\over2a_{p,q}}\).
Avec les notations précédentes, montrer que \(B\) est symétrique et de même norme euclidienne canonique que \(A\).
[examen/ex3073] polytechnique, espci PC 2025 Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_p\).
[examen/ex3073]
Pour \(X\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), on pose \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\).
On écrit \(M\geqslant N\) pour signifier \(M-N\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(L(X^TX)\geqslant L(X^T)L(X)\).
[planches/ex6093] ens saclay, ens rennes MP 2021 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).
[planches/ex6093]
Montrer que \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
Montrer que pour tout \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U^*U=I_n\) et pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a \(\|UA\|=\|AU\|=\|A\|\).
Pour \((p,q)\in[[1,n]]^2\) tel que \(p\neq q\), pour tout \(\theta\in\mathbf{R}\), on note \(G(p,q,\theta)\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ayant les mêmes coefficients que \(I_n\) sauf éventuellement aux positions suivantes : \(G(p,q,\theta)_{p,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{q,q}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{p,q}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(G(p,q,\theta)_{q,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\). Montrer que \(\|G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\|=\|A\|\) pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
Soient \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(p<q\) dans \([[1,n]]\) tels que \(a_{p,q}\neq0\). Montrer qu’il existe un unique \(\theta\in\displaystyle\left]-{\pi\over4},0\right[\cup\left]0,{\pi\over4}\right[\) tel que, pour \(B=G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\), on ait \(b_{p,q}=0\) et \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nb_{i,i}^2=2a_{p,q}^2+\sum\limits_{i=1}^na_{i,i}^2\).
[oraux/ex6865] ens cachan MP 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).
[oraux/ex6865]
On fixe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le maximum de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+XB))\) pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
On se donne \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et on se place dans \(\mathbf{R}[X,Y]\). Montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA-YB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-YB)\hbox{ si et seulement si }AB=0.\]
[concours/ex1348] ens paris MP 1998 Caractériser les applications \(f\) de \(\mathbf{R}^n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[\forall X\in\mathbf{R}^n\quad\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\quad f(OX)=Of(X){}^tO.\]
[concours/ex1348]
[planches/ex7560] ens paris MP 2022 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U\overline U^T=I_n\) et \(A=UB\overline U^T\). Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=OBO^T\).
[planches/ex7560]
[examen/ex2235] centrale MP 2024
[examen/ex2235]
Soit \(M\in\mathscr{S}_d(\mathbb{R})\). Montrer que le spectre de \(M\) est inclus dans \(\mathbf{R}^+\) si et seulement si \(\forall x\in\mathbb{R}^d\), \(\langle Mx,x\rangle\geqslant 0\).
Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d\). On pose, pour \(X\in\mathscr{S}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\). Montrer que \(\mathscr{L}\) préserve le caractère symétrique positif.
Donner \(p\in\mathbb{N}\), \(\Pi:\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\rightarrow\mathscr{M}_p(\mathbb{R})\) morphisme d’algèbre vérifiant \(\Pi(X^T)=\Pi(X)^T\) et \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbb{R})\) vérifiant \(V^TV=I_d\) tels que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=V^T\Pi(X)V\).
Pour \(M\), \(N\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\), on note \(M\geqslant N\) si et seulement si \(M-N\) est symétrique positive.
Montrer \(\mathscr{L}(X^TX)\geqslant\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).
On suppose qu’il existe \(\mathscr{K}\) du même type que \(\mathscr{L}\) tel que \(\mathscr{L}\mathbin{\circ}\mathscr{K}=\mathscr{K}\mathbin{\circ}\mathscr{L}=\mathscr{I}\). Montrer que : \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X^TX)=\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).
[planches/ex2978] ens paris MP 2018 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\). Pour \(r\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(E_r\) l’ensemble des matrices de rang \(r\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[planches/ex2978]
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\Phi:M\mapsto\|A-M\|\). Montrer qu’il existe une matrice \(A_r\) minimisant \(\Phi\) sur \(E_r\).
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Delta\) diagonale telles que \(A=O\Delta O'\).
[oraux/ex6649] ens lyon MP 2013 On fixe \(p\) un nombre premier impair. On admet que le groupe multiplicatif \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) est cyclique. On note \(E\) le \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel des fonctions de \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) dans \(\mathbf{C}\). On munit \(E\) du produit hermitien défini par \((f,g)\mapsto\displaystyle\sum\limits_{x\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\overline{f(x)}g(x)\). On choisit un générateur \(y\) de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\). Pour \(j\) dans \(\{0,\ldots,p-2\}\), on définit \(\chi_j\in E\) par \(\chi_j(0)=0\) et \(\chi_j(y^s)=e^{i\textstyle{2\pi js\over p-1}}\) pour tout \(s\in\{0,\ldots,p-2\}\).
[oraux/ex6649]
Montrer que \(\chi_j\) induit un morphisme de groupes de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) dans \(\mathbf{C}^*\).
Pour \(j\in\{0,\ldots,p-2\}\), calculer \(\displaystyle\sum\limits_{x\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\chi_j(x)\).
Que vaut \(\chi_j(-1)\) ?
On note \(e_0\) l’élément de \(E\) défini par \(x\mapsto\delta_{x,0}\). Trouver un complexe \(\lambda\) tel que : \((e_0,\lambda\chi_0,\lambda\chi_2,\ldots,\lambda\chi_{p-2})\) soit une base orthonormée de \(E\).
On fixe un générateur \(\zeta\) du groupe des racines \(p\)-ièmes de l’unité. On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\) représenté dans la base canonique par la matrice \((\zeta^{(i-1)(j-1)})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Calculer \(\Phi^2\), déterminer ses éléments propres. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits\Phi\).
[examen/ex1617] mines MP 2024 Soit \(E\) un espace réel de dimension \(n\geqslant 2\). Lorsque \(\Phi\) est un produit scalaire sur \(E\), on note \(\mathscr{O}_{\Phi}(E)\) le groupe des isométries pour \(\Phi\), et \(\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\) l’ensemble des endomorphismes autoadjoints définis positifs pour \(\Phi\).
[examen/ex1617]
On fixe un produit scalaire \(\Phi\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
\(\Psi\) est un produit scalaire,
\(\exists a\in\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\), \(\Psi(x,y)=\Phi(a(x),y)\).
Soit \(u\in\mathscr{O}_{\Phi}(E)\). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que \(u\in\mathscr{O}_{\Psi}(E)\) (on utilisera l’endomorphisme \(a\) de la question précédente).
Soit \(P\) l’ensemble des produits scalaires sur \(E\). Déterminer \(\mathop{\bigcap}\limits\limits_{\Psi \in P}\mathscr{O}_{\Psi}(E)\).
[oraux/ex0696] centrale MP 2008 (avec Maple)
[oraux/ex0696]
Maple
Déterminer toutes les matrices \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2}\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) telles que \(a_{1,1}\) soit égal à la plus petite valeur propre de \(A\).
Déterminer toutes les matrices \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\) telles que \(a_{1,1}\) soit égal à la plus petite valeur propre de \(A\) et \(a_{3,3}\) à la plus grande.
[planches/ex7558] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soient \(A_1\) et \(A_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :
[planches/ex7558]
Toute combinaison linéaire de \(A_1\) et \(A_2\) est diagonalisable ;
une, et une seule, des propriétés suivantes est vraie :
toute combinaison linéaire non nulle de \(A_1\) et \(A_2\) admet deux valeurs propres réelles distinctes ;
les matrices \(A_1\) et \(A_2\) sont codiagonalisables ;
il existe \(S\in\mathscr{S}_2^{++}(\mathbf{R})\) telle que, pour toute combinaison linéaire \(A\) de \(A_1\) et \(A_2\), on ait \(SA\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).
[oraux/ex3511] ens lyon MP 2011
[oraux/ex3511]
Déterminer les couples \((A,B)\) de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})^2\) tels que l’application \(t\mapsto e^{tA}-e^{tB}\) soit bornée sur \(\mathbf{R}\).
Soient \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(H=\{P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{t\in\mathbf{R}}\|Pe^{tA}-e^{tA}\|<{+\infty}\}\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) ; trouver la forme de ses éléments.
[planches/ex7573] ens lyon MP 2022 Une matrice \(H\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est dite hermitienne lorsque, pour tout \((i,j)\in[[1,n]]^2\), \(h_{i,j}=\overline{h_{j,i}}\) et une telle matrice est dite positive (resp. définie positive) lorsque toutes ses valeurs propres sont réelles positives (resp. réelles strictement positives).
[planches/ex7573]
Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne positive.
Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+^*\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne définie positive.
[oraux/ex7849] polytechnique MP 2013 Soit \(m\in\mathbf{N}\) avec \(m\geqslant 2\). On note \(\omega_1\), … , \(\omega_m\) les racines \(m\)-ièmes de l’unuté. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[oraux/ex7849]
Montrer que, pour tout \(z\in\mathbf{C}\) : \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(1-\omega_kz)=1\).
Montrer que \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(I_n-\omega_kA)=I_n\).
Soit \(X\in\mathbf{C}^n\) tel que \(X^*X=1\) où \(X^*={}^t\overline X\). Montrer l’existence de \(Z_1\), … , \(Z_m\) dans \(\mathbf{C}^n\) tels que \(1-X^*A^mX=\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m(Z_j^*Z_j-\omega_jZ_j^*AZ_j)\).
En déduire que si \(A\) vérifie \(X^*X\leqslant 1\Longrightarrow|X^*AX|\leqslant 1\), alors les puissances de \(A\) aussi.
[oraux/ex8194] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit un entier \(n\) au moins égal à 3. On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. On note \(E\) l’espace des formes bilinéaires symétriques sur \(\mathbf{R}^n\).
[oraux/ex8194]
Dans \(\mathbf{R}^n\) on donne des vecteurs unitaires \(X\), \(Y\), \(V\), \(W\) tels que \(X\) et \(V\) d’une part, \(Y\) et \(W\) d’autre art, sont orthogonaux. Montrer l’existence de \(G\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tel que \(GX=Y\) et \(GV=W\).
Soit \(B\) un élément de \(E\) tel que \(B(GX,GY)=B(X,Y)\) pour tous \(X\), \(Y\) de \(\mathbf{R}^n\) et \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Que peut-on dire de \(B\) ?
Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit stable si, pour tout \(B\) de \(F\) et tout \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \((X,Y)\mapsto B(GX,GY)\) est dans \(F\). Décrire les sous-espaces stables de \(E\).
[planches/ex4921] mines MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \({}^t\overline MM=I_n\).
[planches/ex4921]
Soit \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) symétrique. En considérant les parties réelle et imaginaire de \(A\), montrer que \(A\) s’écrit \(e^{iS}\) où \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Réciproque ?
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) si et seulement si \(A\) s’écrit \(Oe^{iS}\) avec \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).
[examen/ex2729] ens paris MP 2025 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On appelle forme quadratique sur \(\mathbf{R}^n\) toute application \(q:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) telle qu’il existe \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(q(x)=\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}x_ix_j\) pour tout \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n\). Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tels que \(\{0\}\) et \(\mathbf{R}^n\) sont les seuls sous-espaces de \(\mathbf{R}^n\) stables par tous les éléments de \(G\). Montrer que les formes quadratiques invariantes par \(G\) constituent une droite vectorielle.
[examen/ex2729]
[oraux/ex0823] centrale PSI 2009 Soient \(E=\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\), \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et \(\Phi:S\in E\mapsto AS+S{}^tA\in E\).
[oraux/ex0823]
Donner la matrice de \(\Phi\) dans une base de \(E\).
Quelle relation existe-t-il entre \(\chi_A\) et \(\chi_\Phi\) ?
Si \(\Phi\) est diagonalisable, la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Si \(A\) est diagonalisable, l’endomorphisme \(\Phi\) est-il diagonalisable ?
[planches/ex1462] ens paris MP 2017 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\forall k\in\mathbf{N}^*\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A+B)^k=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^k)+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B^k)\). Montrer \(AB=0\).
[planches/ex1462]
[concours/ex5247] ens MP 2007 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(S\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) antisymétrique telle que \(SA\) soit orthogonale.
[concours/ex5247]
[oraux/ex8157] mines PC 2015 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{O}(E)\). Soit \(\lambda\in\mathbf{R}\) une valeur propre de \(u\). Montrer que la dimension de l’espace propre associé à la valeur propre \(\lambda\) est égal à la multiplicité de cette valeur propre dans le polynôme caractéristique.
[oraux/ex8157]
[concours/ex0351] ens lyon MP 1996 Soit \(A\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{Z})\) antisymétrique de déterminant non nul. Montrer qu’il existe une matrice \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{2n}(\mathbf{Z})\) et des entiers uniques \(d_1\), … , \(d_n\) tels que \(d_i\mid d_{i+1}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\) et \[{}^tPAP=\pmatrix{ &&&d_1&&0\cr &0&&&\ddots\cr &&&0&&d_n\cr -d_1&&0\cr &\ddots&&&0\cr 0&&-d_n}\]
[concours/ex0351]
[oraux/ex0635] ens lyon PC 2008 On se place dans \(\mathbf{R}^{2n}\) muni du produit scalaire canonique. Soit \(E\) le sous-espace vectoriel engendré par les \(n\) premiers vecteurs de la base canonique. On appelle \(\pi\) la projection orthogonale sur \(E\). Soit \(\varphi\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(\forall x\in E\), \(\|\varphi(x)\|\leqslant\|x\|\). Montrer qu’il existe \(\sigma\in\mathscr{O}(\mathbf{R}^{2n})\) tel que \(\varphi=\pi\mathbin{\circ}\sigma_{|E}\).
[oraux/ex0635]
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