[planches/ex1464] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(A^*={}^t\overline A\) et on introduit l’ensemble \(U_n(\mathbf{C})\) des matrices unitaires \(A\), matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^*A=I_n\). On admet que toute matrice unitaire est unitairement semblable à une matrice diagonale.
[planches/ex1464]
On pose, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\) et \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A^*A}\).
Soient \(A\) et \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\|I_n-[A,B]\|\leqslant\sqrt2\|I_n-A\|\times\|I_n-B\|\).
Indication : On pourra montrer que, si \((C,P)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\times U_n(\mathbf{C})\), \(\|CP\|=\|PC\|=\|C\|\).
Soient \(A\), \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(A\) commute avec \([A,B]\) et que \(\|I_n-B\|<\sqrt2\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.
[oraux/ex3512] ens paris MP 2011 Soient \(N\) un entier \(\geqslant 2\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant N}\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\). On suppose qu’il existe \(m\in\mathbf{N}\) tel que \(A^m\) a ses coefficients strictement positifs. On note \(\Omega_A=\{\omega\in\{1,\ldots,N\},\ \forall n\in\mathbf{Z},\ a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\}\).
[oraux/ex3512]
Montrer que \(\Omega_A\) est non vide. Soit \(\Theta:(u_n)_{n\in\mathbf{Z}}\mapsto(u_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). Montrer que \(\Theta\) induit une bijection de \(\Omega_A\) sur \(\Omega_A\).
On appelle orbite tout ensemble du type \(\{\Theta^n(\omega),\ n\in\mathbf{N}\}\) avec \(\omega\in\Omega_A\). On note \(\mathscr{O}_f\) l’ensemble des orbites finies. Soit \(g:x\mapsto\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{C\in\mathscr{O}_f}{1\over1-x^{\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(C)}}\). Montrer que \(g\) est définie au voisinage de 0. Montrer que \(g\) est une fraction rationnelle ; l’exprimer en fonction de \(A\).
[concours/ex3278] ens lyon M 1993 Sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on définit la norme \(\left\|A\right\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\). Soit \(\mathscr{U}_n\) l’ensemble des matrices unitaires d’ordre \(n\).
[concours/ex3278]
Montrer que, pour tout \(U\) de \(\mathscr{U}_n\) et tout \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a : \[\left\|UA\right\|=\left\|AU\right\|=\left\|A\right\|.\] On considère des matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{U}_n\) et on pose \(C=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose \(AC=CA\) et \(\left\|I-B\right\|<\sqrt2\). On veut montrer que \(AB=BA\).
Montrer que \(A\) et \(BAB^{-1}\) commutent.
Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{U}_n\), des complexes \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) de module \(1\) et une permutation \(\sigma\) de \(\{1,\ldots,n\}\) tels que \(U^*AU=D\) et \(U^*BAB^{-1}U=D'\) avec \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) et \(D'=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_{\sigma(1)},\ldots,\lambda_{\sigma(n)})\).
Conclure.
[concours/ex8869] ens paris MP 2010 Soient \(m\) un entier \(\geqslant 2\), \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant m}\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients appartiennent à \(\{0,1\}\) et telle qu’il existe \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\) tel que tous les coefficients de \(A^p\) soient \(>0\). On note \(F\) l’ensemble des fonctions de \(\mathbf{Z}\) dans \(\{1,\ldots,m\}\), \(\theta\) l’application de \(F\) dans \(F\) qui à la suite \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) associe la suite \((\omega_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). On note enfin \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) appartenant à \(F\) telles que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\).
[concours/ex8869]
Vérifier que \(\theta\) est une bijection de \(F\) sur \(F\), que \(\Omega\) est non vide.
Pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soient \(P_n\) l’ensemble des points fixes de \(\theta^n\) appartenant à \(\Omega\), \(\pi_n\) le cardinal de \(P_n\), \(P=\mathop{\bigcup}\limits_{n\in\mathbf{N}^*}P_n\). Montrer qu’existe \(R\) dans \(\mathbf{Q}(X)\) dont 0 n’est pas pôle et \(\eta>0\) tels que, pour \(x\in\left]-\eta,\eta\right[\), on ait : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_nx^n\over n}\right)=R(x)\).
Pour \(\omega\) dans \(P\), soit \(p(\omega)\) le plus petit \(n\) de \(\mathbf{N}^*\) tel que \(\omega\) appartienne à \(P_n\). Enfin, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soit \(Q_n\) l’ensemble des \(\omega\) de \(P\) tels que \(p(\omega)=n\). On définit une relation \(\sim\) sur \(P\) par : \(\omega\sim\omega'\) si et seulement s’il existe \(k\) dans \(\mathbf{Z}\) tel que \(\theta^k(\omega)=\omega'\). Vérifier que c’est une relation d’équivalence sur \(P\), que \(p\) est constante sur les classes de \(\sim\). Si \(\widetilde P\) est l’ensemble des classes d’équivalence de \(\sim\) et \(\tilde p\) la fonction déduite de \(p\) sur \(\widetilde P\), montrer, pour \(x\) réel assez près de 0, l’égalité : \(R(x)=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{u\in\widetilde P}{1\over1-x^{\tilde p(u)}}\).
[planches/ex0497] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soit \(A\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\), telle qu’il existe \(n_0\) pour lequel tous les coefficients de \(A^{n_0}\) sont strictement positifs. On note \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_k)_{k\in\mathbf{Z}}\) dans \([[1,N]]^2\) telles que, pour tout \(k\in\mathbf{Z}\), \(A_{\omega_k,\omega_{k+1}}=1\).
[planches/ex0497]
Montrer que \(\Omega\) n’est pas vide.
Soit \(\pi_n\) le nombre d’éléments de \(\Omega\) qui sont \(n\)-périodiques. Montrer que le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{\pi_n\over n}x^n\) est strictement positif.
Montrer que \(\xi(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_n\over n}x^n\right)\) est une fraction rationnelle de \(\mathbf{Q}(X)\).
[concours/ex1353] ens paris MP 1998 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) deux matrices hermitiennes positives. Montrer qu’il existe \(T\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(T^*AT\) et \(T^*BT\) soient diagonales.
[concours/ex1353]
[oraux/ex5025] polytechnique MP 2012
[oraux/ex5025]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(P\) inversible telle que \({}^tPAP\) et \({}^tPBP\) soient diagonales.
Le résultat est-il encore vrai si l’on suppose simplement \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{+}(\mathbf{R})\) ?
[oraux/ex0471] polytechnique MP 2005 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(\{X\in\mathbf{C}^n\mid X^*AX=X^*BX=0\}=\{0\}\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) et \(P^*BP\) soient triangulaires supérieures.
[oraux/ex0471]
[planches/ex4589] ens PC 2019 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables dans \(\mathbf{R}\).
[planches/ex4589]
Montrer que \(I_2\in V\).
Donner un exemple de tel hyperplan \(V\).
Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}VP\) contienne toutes les matrices diagonales.
Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(Q^{-1}VQ=\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).
[examen/ex3558] mines PSI 2025 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables sur \(\mathbf{R}\).
[examen/ex3558]
Donner un exemple de tel hyperplan.
Soit \(F=\left\{\pmatrix{a&b\cr-b&a}\right\}_{(a,b)\in\mathbf{R}^2}\). Montrer que \(F\cap V\neq\{0\}\) et en déduire que \(I_2\in V\).
On munit \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) de son produit scalaire canonique. Quelle est la dimension de \(V^\perp\) ?
Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(QVQ^{-1}=S_2(\mathbf{R})\).
[oraux/ex0920] centrale PSI 2010 Soit \(\mathscr{H}\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) constitué de matrices diagonalisables. On veut montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathscr{H}=P\mathscr{S}_2(\mathbf{R})P^{-1}\).
[oraux/ex0920]
Montrer que \(\mathscr{H}\) contient une matrice non inversible non nulle.
Montrer que, par conjugaison, on peut se ramener à \(\mathscr{H}=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A,B,C)\) où \(A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\), \(C=\left(\begin{array}{cc}1&\omega^2\\1&0\end{array}\right)\) avec \(\omega\in\mathbf{R}_+^*\).
En déduire le résultat.
[planches/ex3199] polytechnique MP 2018 Lorsque \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) on pose \(N(M)=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\).
[planches/ex3199]
Montrer que \(N\) est une norme sous-multiplicative, invariante par la conjugaison des éléments du groupe orthogonal.
Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). On note \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose que \(N(B-I_3)<2\) et que \(A\) commute avec \([A,B]\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.
Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). Montrer que \(N(I-[A,B])\leqslant 2N(I-A)\,N(I-B)\).
[oraux/ex0739] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009
[oraux/ex0739]
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et \(P^{-1}AP\) soit diagonale.
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\) et \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits B=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B|\neq2\). On suppose de plus que \(A\) et \(B\) n’ont pas de vecteur propre commun. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) soient symétriques.
On fait sur \(A\) les mêmes hypothèses qu’à la question précédente. On suppose qu’il existe \((n_1,\ldots,n_k,m_1,\ldots,m_k)\in\mathbf{Z}^{2k}\) tel que : \(A^{n_1}B^{m_1}\ldots A^{n_k}B^{m_k}=I_2\).
Montrer que \(A^{-n_1}B^{-m_1}\ldots A^{-n_k}B^{-m_k}=I_2\).
[concours/ex3747] centrale M 1992 Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension finie et \(f\) une isométrie de \(E\).
[concours/ex3747]
Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) est paire, alors \(f\) est une isométrie positive.
On suppose que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), soit \(g\) une isométrie telle que \(fg=gf\). Montrer que \(g\) est positive.
[concours/ex6253] ens MP 2006 Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(2n\) et de norme \(\|\ \|\), \(F\) un sous-espace de \(E\) de dimension \(n\), \(u\in\mathscr{L}(F)\) et \(p\) la projection orthogonale de \(E\) sur \(F\). Montrer l’équivalence entre :
[concours/ex6253]
\(\forall x\in F\), \(\|u(x)\|\leqslant\|x\|\) ;
\(\exists v\in\mathscr{O}(E)\), \(u=p\mathbin{\circ} v_{|F}\).
[planches/ex1711] polytechnique MP 2017 Soient \(n\) et \(d\) dans \(\mathbf{N}^*\). Soient \(M_1\), … , \(M_n\) dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kM_k=I_d\). On définit l’endomorphisme \(L\), de l’espace vectoriel \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) dans lui-même, par l’égalité \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kXM_k\).
[planches/ex1711]
Enfin, si \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), on écrit \(X\geqslant 0\) lorsque, pour tout \(Y\in\mathscr{M}_{d,1}(\mathbf{R})\), \({}^tYXY\geqslant 0\).
Soit \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\). Montrer que, si \(X\geqslant 0\), alors \(L(X)\geqslant 0\).
Montrer l’existence de \(p\in\mathbf{N}^*\), de \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbf{R})\) vérifiant \({}^tVV=I_d\), et d’un morphisme d’algèbres \(\pi\), de \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) vers \(\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), tel que \(\pi({}^tX)={}^t(\pi(X))\) et \(L(X)={}^tV\pi(X)V\), pour tout \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\).
Montrer que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L({}^tXX)-{}^t(L(X))L(X)\geqslant 0\).
[oraux/ex3507] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011 Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mu_M\) le polynôme minimal de \(M\).
[oraux/ex3507]
Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Exprimer \(\mu_{A^{-1}}\) en fonction de \(\mu_A\).
Soit \(A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\). On suppose que 1 et \(-1\) ne sont pas racines de \(\mu_A\). Montrer que \(\mu_A\) est un polynôme réciproque de degré pair.
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que : \(\mu_A=\mu_B\) et \(\mu_A\) est irréductible. Montrer que \(A\) et \(B\) sont orthogonalement semblables.
[planches/ex3198] polytechnique MP 2018 Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\in\mathbf{R}\). Déterminer le lieu \(L\) dans \(\mathbf{R}^2\) de la diagonale des matrices de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) c’est-à-dire : \[L=\left\{\vphantom{|_|}(S_{1,1},S_{2,2}),\ S\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\hbox{ et }\chi_S=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\right\}.\]
[planches/ex3198]
[oraux/ex6865] ens cachan MP 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).
[oraux/ex6865]
On fixe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le maximum de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+XB))\) pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
On se donne \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et on se place dans \(\mathbf{R}[X,Y]\). Montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA-YB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-YB)\hbox{ si et seulement si }AB=0.\]
[oraux/ex0464] centrale 2004 Soit \(D\) une matrice diagonale réelle de taille \(n\), de valeurs propres notées \(\lambda_1<\ldots<\lambda_n\). On se donne une matrice symétrique réelle \(V\), et pour \(\varepsilon>0\), on note \(\mu_1\leqslant\ldots\leqslant\mu_n\) les valeurs propres de \(M(\varepsilon)=D+\varepsilon V\) ; montrer que, pour tout \(i\), \(\mu_i\) admet un développement limité à tous ordres en \(\varepsilon\) lorsque ce dernier tend vers 0. Déterminer les deux premiers termes du développement.
[oraux/ex0464]
[oraux/ex5300] mines MP 2012 Soit \(A=(a_{i,j})\in {\cal S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\in\{1,\nobreak\ldots\unskip\nobreak ,n\}\), \(a_{i,i}=1\) et \(\sum\limits_{j=1}^n|a_{i,j}|\leqslant 2\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\in[0,1]\).
[oraux/ex5300]
[planches/ex6087] ens saclay, ens rennes MP 2021
[planches/ex6087]
Pour \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), montrer que : \[\left|\matrix{A&B\cr0&C}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(C),\quad\left|\matrix{A&B\cr B&A}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A-B)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+B),\quad\left|\matrix{A&-B\cr B&A}\right|\geqslant 0.\]
Le but de l’exercice est de démontrer que, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on a \(AB=0\) si et seulement si, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\).
Montrer le sens direct.
Soient \(M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et \(N\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que, pour tout \(t\in\mathbf{R}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M-tN)=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(N)\neq\{0\}\).
En déduire que si \(A\) et \(B\) sont deux éléments de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) tels que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\), alors il existe un vecteur propre de \(A\) appartenant au noyau de \(B\).
[oraux/ex3740] polytechnique, espci PC 2011 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le nombre de matrices \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2\).
[oraux/ex3740]
[planches/ex6093] ens saclay, ens rennes MP 2021 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).
[planches/ex6093]
Montrer que \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
Montrer que pour tout \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U^*U=I_n\) et pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a \(\|UA\|=\|AU\|=\|A\|\).
Pour \((p,q)\in[[1,n]]^2\) tel que \(p\neq q\), pour tout \(\theta\in\mathbf{R}\), on note \(G(p,q,\theta)\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ayant les mêmes coefficients que \(I_n\) sauf éventuellement aux positions suivantes : \(G(p,q,\theta)_{p,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{q,q}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{p,q}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(G(p,q,\theta)_{q,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\). Montrer que \(\|G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\|=\|A\|\) pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
Soient \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(p<q\) dans \([[1,n]]\) tels que \(a_{p,q}\neq0\). Montrer qu’il existe un unique \(\theta\in\displaystyle\left]-{\pi\over4},0\right[\cup\left]0,{\pi\over4}\right[\) tel que, pour \(B=G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\), on ait \(b_{p,q}=0\) et \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nb_{i,i}^2=2a_{p,q}^2+\sum\limits_{i=1}^na_{i,i}^2\).
[oraux/ex0747] polytechnique MP 2009 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour toute matrice inversible \(P\), \(PS\) soit encore symétrique. Que dire de \(S\) ? Donner deux méthodes.
[oraux/ex0747]
[planches/ex8524] centrale MP 2022 (avec Python)
[planches/ex8524]
Python
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(\theta\in\mathbf{R}\) et \((p,q)\in[[1,n]]\) avec \(p\neq q\), on note \(\Omega_{p,q}(\theta)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice dont les coefficients d’indices \((p,p)\) et \((q,q)\) valent \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), les autres coefficients diagonaux valant 1, et \([\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=-[\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=sin\theta\). Tous les autres coefficients sont nuls.
Coder une fonction Python qui renvoie la matrice \(\Omega_{p,q}(\theta)\).
Coder une fonction Python qui, pour une matrice \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), renvoie un couple \((p,q)\in[[1,n]]^2\) avec \(p<q\) tel que \(|a_{p,q}|=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_{i,j}|\).
Coder une fonction Python prenant en argument \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et qui renvoie la matrice \(B=\Omega_{p,q}(\theta)^TA\Omega_{p,q}(\theta)\) où \((p,q)\) est défini comme précédemment et \(\theta\in\left[\displaystyle-{\pi\over4},{\pi\over4}\right]\) vérifie \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits(2\theta)=\displaystyle{a_{p,p}-a_{q,q}\over2a_{p,q}}\).
Avec les notations précédentes, montrer que \(B\) est symétrique et de même norme euclidienne canonique que \(A\).
[concours/ex0115] polytechnique PC 1996 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles, \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) les valeurs propres supposées distinctes de \(A\) ; \(x_1\), … , \(x_n\) une base orthonormée de vecteurs propres. Trouver un développement limité en \(0\) des valeurs propres \(\mu_i\) de \(A+\varepsilon B\) sous la forme : \[\mu_i=\lambda_i+\varepsilon\lambda_{i1}+\varepsilon^2\lambda_{i2}+ \cdots+\varepsilon^n\lambda_{in}+o(\varepsilon^n)\,.\] Même question pour les vecteurs propres \(y_i\).
[concours/ex0115]
[examen/ex3073] polytechnique, espci PC 2025 Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_p\).
[examen/ex3073]
Pour \(X\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), on pose \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\).
On écrit \(M\geqslant N\) pour signifier \(M-N\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(L(X^TX)\geqslant L(X^T)L(X)\).
[oraux/ex8834] ens PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de spectre réel. On suppose que, pour tout \(i\in[[1,n]]\), \(a_{i,i}=1\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\neq i}a_{i,j}\leqslant 1\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\) appartient à \([0,1]\).
[oraux/ex8834]
[oraux/ex3600] polytechnique MP 2011 Quelles sont les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \(PA\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) ?
[oraux/ex3600]
[oraux/ex5581] centrale MP 2012 On note \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) l’ensemble des matrices réelles symétriques de taille \(n\) à coefficients positifs.
[oraux/ex5581]
Une matrice de \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) peut-elle avoir une valeur propre strictement négative ? Que des valeurs propres strictement négatives ?
Soient \(A\in {\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\), \(\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\) ses valeurs propres, \((X_1,\ldots ,X_n)\) une base orthonormée telle que \(\forall i\in\{1,\ldots ,n\}\,\;A\,X_i=\lambda_i\,X_i\).
Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on pose \(B(\alpha)=\left( \begin{array}{c|c} A&\alpha\,X_n\\ \hline \alpha\,{}^t\; X_n&0 \end{array}\right)\).
Montrer que \(\lambda_1\),…, \(\lambda_{n-1}\) sont des valeurs propres de \(B(\alpha)\).
On note \(\beta\) et \(\gamma\) les deux autres valeurs propres de \(B(\alpha)\). Exprimer \(\beta+\gamma\) et \(\beta\,\gamma\) en fonction de \(\lambda_n\) et \(\alpha\).
Trouver \(A\in {\cal S}_2(\mathbf{R}^+)\) de valeurs propres \(-1\) et \(2\), et \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(B(\alpha)\) ait pour valeurs propres \(-1\), \(-2\) et \(4\).
[oraux/ex8136] polytechnique, ens cachan PSI 2015
[oraux/ex8136]
Montrer que toute matrice symétrique définie positive est le carré d’une matrice symétrique définie positive.
Montrer que toute matrice \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) peut s’écrire \(A=OS\) avec une matrice \(O\) orthogonale et une matrice \(S\) symétrique définie positive.
Soient \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(d\in[[1,n]]\). Pour tout \((x_1,\ldots,x_d)\in E^d\), on pose \(m(x_1,\ldots,x_d)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}(x_1,\ldots,x_d)|\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est libre, où \(\mathscr{B}\) est une base orthonormale du sous-espace \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x_1,\ldots,x_d)\), et \(m(x_1,\ldots,x_d)=0\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est liée.
On note \(X_d=\left\{\vphantom{|_|}\smash{f\in\mathscr{L}(E),\ \forall(x_1,\ldots,x_d)\in E^d,\ m(f(x_1),\ldots,f(x_d))=m(x_1,\ldots,x_d)}\right\}\).
Justifier la définition de \(m\).
Montrer que les éléments de \(X_d\) sont des automorphismes et que \(X_d\) contient les isométries vectorielles.
On suppose \(d<n\). Quels sont les endomorphismes symétriques de \(X_d\) ? En déduire que \(X_d\) est l’ensemble des isométries vectorielles.
[oraux/ex0929] centrale PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche à écrire \(A={}^tLL\) où \(L\) est triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs.
[oraux/ex0929]
Étudier l’existence de \(L\) pour \(A=\left(\begin{array}{cc}8&5\\5&4\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cc}4&6\\6&1\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&4&10&12\\3&10&25&14\\ 4&12&14&35\end{array}\right)\).
Trouver une relation entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits L\).
Si \(L\) existe, montrer que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,,i}>0\). Est-ce suffisant ?
[planches/ex5862] polytechnique MP 2020 Soient \(n\) et \(p\) deux éléments de \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n\geqslant p\), \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{M}_{n,p}(\mathbf{R})\) et \[S=\pmatrix{A&B\cr B^T&0}.\] Montrer que \(S\) est inversible si et seulement s’il existe \(C\in\mathscr{M}_{n,n-p}(\mathbf{R})\) de rang \(n-p\) telle que \(C^TB=0\) et \(C^TAC\) soit inversible.
[planches/ex5862]
[oraux/ex8295] centrale PSI 2016 Soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice antisymétrique \(V\) telle que \(U+V\) soit orthogonale.
[oraux/ex8295]
On suppose que \(U\) convient. Montrer que \(UV=VU\) et \(I_n=U^2-V^2\). Montrer que si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\) alors \(\lambda\in[-1,1]\) et si \(\lambda\in\left]-1,1\right[\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est de dimension paire.
[oraux/ex0490] polytechnique PC 2005 Soient \(u\) un vecteur unitaire de l’espace euclidien \(\mathbf{R}^n\) et \(P_u\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(u)\).
[oraux/ex0490]
Montrer que \(P_u\) est symétrique positif et que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(P_u)=1\).
Soit \(A\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AP_u)\).
Soient \(A\in\mathscr{S}^+(\mathbf{R}^n)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=1\) et \(x\in\mathbf{R}^n\) unitaire. Montrer que \(\langle x,Ax\rangle\in[0,1]\).
Soient \(A\), \(B\in\mathscr{S}^+(\mathbf{R}^n)\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B=1\), et \(c\in\left]0,1\right[\) tel que \(P_u=cA+(1-c)B\). Montrer que \(A=B=P_u\).
[oraux/ex8165] centrale MP 2015
[oraux/ex8165]
Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.
Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.
Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?
[planches/ex7572] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(C(A)\) sa comatrice. Soit \(U\), \(V\) deux vecteurs unitaires de \(\mathbf{R}^n\). On note \(P\) et \(Q\) les matrices canoniquement associées aux projections orthogonales sur \(\{U\}^\perp\) et \(\{V\}^\perp\), respectivement. Montrer que \(C(P)C(Q)C(P)=\langle U,V\rangle^2C(P)\).
[planches/ex7572]
[oraux/ex8209] polytechnique MP 2016 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\). On munit \(\mathbf{R}^m\) et \(\mathbf{R}^n\) de leur structure euclidienne canonique. On note \(S^{n-1}\) (resp. \(S^{m-1}\)) la sphère unité de \(\mathbf{R}^n\) (resp. \(\mathbf{R}^m\)). On note \(\sigma_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1},\ v\in S^{n-1}\}\).
[oraux/ex8209]
Montrer qu’il existe \(u_1\) dans \(S^{m-1}\) et \(v_1\) dans \(S^{n-1}\) tels que \(\sigma_1=\langle u_1,Mv_1\rangle\) et que, si \(M\neq0\), \(\sigma_1>0\).
Montrer que \(Mv_1=\sigma_1u_1\) et que \({}^tMu_1=\sigma_1v_1\).
reprendre ces questions avec \(\sigma_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1}\cap u_1^\perp,\ v\in S^{n-1}\cap v_1^\perp\}\).
Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{O}_m(\mathbf{R})\), \(V\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Sigma\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\) telles que \(M=U\Sigma V\) et que les seuls coefficients non nuls de \(\Sigma\) soient \(\Sigma_{i,i}\) pour \(1\leqslant i\leqslant r\), tous strictement positifs. Interpréter ces coefficients à l’aide de la matrice \({}^tMM\).
[concours/ex2430] ens paris M 1995 Soit \(G=O_2(\mathbf{R})\) le groupe des matrices orthogonales de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Soit \(F\in\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\). Si \(x=(x_1,x_2)\) et \(y=(y_1,y_2)\) sont dans \(\mathbf{R}^2\), on note \(F(x,y)=F(x_1,x_2,y_1,y_2)\). On fait agir \(G\) sur \(\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\) par \(gF(x,y)=F(gx,gy)\). On suppose enfin que, pour tout \(g\) de \(G\), on a \(gF=F\).
[concours/ex2430]
Soit \(K(a,b,c)=F(a,0,b,c)\). Montrer que \(K\) est un polynôme en \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), \(ab\).
Montrer qu’il existe \(N\in\mathbf{R}[u,v,w]\) et \(\alpha\in\mathbf{N}\) tels que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\) : \[F(x,y)={N\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\over(x|x)^\alpha}.\]
Soit \(R\in\mathbf{R}[u,v,w]\) tel que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\), on ait : \[R\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)=0.\] Montrer que \(R=0\).
En déduire que \(F\) est de la forme \(H\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\) où \(H\in\mathbf{R}[u,v,w]\).
[oraux/ex8193] ens paris MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(\mathscr{L}\) un endomorphisme de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que : \(\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}({}^tOSO)={}^tO\mathscr{L}(S)O\). Montrer qu’il existe \(\lambda\) et \(\mu\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(S)=\mu S+\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S)I_n\).
[oraux/ex8193]
[planches/ex7569] ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(X_0\in\mathbf{R}^n\setminus\{0\}\). Pour \(k\in\mathbf{N}\), on pose \(V_k:=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A^iX0)_{0\leqslant i\leqslant k}\).
[planches/ex7569]
Montrer qu’il existe \(k_0\in\mathbf{N}\) tel que \(\forall k\in[[0,k_0]]\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits V_k=k+1\) et \(\forall k>k_0\), \(V_k=V_{k_0}\).
On définit par récurrence \((v_i)_{0\leqslant i\leqslant k_0}\) par \(v_0=\displaystyle{1\over\|X_0\|}X0\), \(\widetilde v_j:=Av_{j-1}-\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{j-1}\langle Av_{j-1},v_i\rangle v_i\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), \(v_j=\displaystyle{1\over\|\widetilde v_j\|}\widetilde v_j\). Montrer que cette famille est bien définie et est une base orthonormale de \(V_{k_0}\).
Montrer que \(\widetilde v_j-Av_{j-1}\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(v_{j-1},v_{j-2})\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), où \(v_{-1}:=0\).
On définit la matrice \(T\in\mathscr{S}_{k_0+1}(\mathbf{R})\) par \(t_{i,i}=\langle Av_i,v_i\rangle\), \(t_{i,i+1}=t_{i+1,i}=\|\widetilde v_{i+1}\|\) et \(t_{i,j}=0\) pour tout couple \((i,j)\in[[0,k0]]^2\) tel que \(|i-j|>1\). Montrer que \(T\) a le même spectre que l’endomorphisme induit par \(X\longmapsto AX\) sur \(V_{k_0}\).
[planches/ex7560] ens paris MP 2022 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U\overline U^T=I_n\) et \(A=UB\overline U^T\). Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=OBO^T\).
[planches/ex7560]
[concours/ex2145] polytechnique M 1995 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((x,y,z)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^n\times\mathbf{R}^n\). On pose \[M(x,y,z)=\left|\begin{array}{cccccc} x&y_1&y_2&\cdots&\cdots&y_n\\ y_1&z_1&0&\cdots&\cdots&0\\ y_2&0&z_2&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ y_{n-1}&0&\cdots&0&z_{n-1}&0\\ y_n&0&\cdots&\cdots&0&z_n \end{array}\right|.\]
[concours/ex2145]
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M(x,y,z)\).
On pose \(S=\{M(x,y,z)\ \hbox{positive}\}\), \(S_0=\{M(x,0,0)\mid x\geqslant 0\}\) et, pour \(1\leqslant i\leqslant n\), \[S_i=\{M\bigl(x,(0,\ldots,y_i,\ldots,0),(0,\ldots,z_i,\ldots,0)\bigr)\mid x\geqslant 0,\ z_i\geqslant 0,\ xz_i=y_i^2\}.\] Montrer que \(S=S_0+S_1+\cdots+S_n\).
[planches/ex1710] polytechnique MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on appelle espace associé de \(S\) le sous-espace engendré par les sous-espaces propres de \(S\) associés à des valeurs propres non nulles.
[planches/ex1710]
Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’on peut écrire \(S=S^+-S^-\) où \(S^+\) et \(S^-\) sont dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et où les espaces associés de \(S^+\) et \(S^-\) sont orthogonaux.
Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe un unique \(C\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) tel que \(C^2=S^2\). On note \(C=|S|\).
Montrer que si \(S=S^+-S^-\) est une décomposition de \(S\) comme en 1), alors \(|S|=S^++S^-\).
Soit \(E_n=\{M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=1\}\). Pour \((S,T)\in E_n^2\), soit \(d(S,T)=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(|T-S|)\).
Indiquer la forme des éléments de \(E_2\). Calculer \(d(S,T)\) pour \(S\) et \(T\) dans \(E_2\).
Montrer, pour \(S\) et \(T\) dans \(E_n\), \(d(S,T)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(R(T-S)),\ R\in P_n\}\) où \(P_n\) désigne l’ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[concours/ex5247] ens MP 2007 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(S\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) antisymétrique telle que \(SA\) soit orthogonale.
[concours/ex5247]
[planches/ex8603] centrale PSI 2022 Pour \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).
[planches/ex8603]
Soient \(A=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*=-M,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\}\) et \(G=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*M=I_2,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=1\}\).
Montrer que \(A\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et préciser sa dimension.
L’ensemble \(A\) est-il un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel ?
Caractériser \(A\cap G\).
Une matrice appartenant à \(G\) est-elle diagonalisable ?
[planches/ex8523] centrale MP 2022 (avec Python)
[planches/ex8523]
Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Pour \(k\in[[1,n]]\), on note \(A_k\) la matrice extraite de \(A\) constituée de ses \(k\) premières lignes et \(k\) premières colonnes, et on pose \(\Delta_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A_k)\).
Écrire une fonction qui renvoie une matrice symétrique de taille \(n\), à coefficients aléatoirement choisis dans l’intervalle \([[-20,20]]\).
Écrire une fonction, prenant une matrice carrée \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) en argument, et qui renvoie le couple \((\ell_1,\ell_2)\) où \(\ell_1=[\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1}]\) et \(\ell_2\) est la liste des valeurs propres de \(M\).
Tester la fonction précédente sur différentes matrices symétriques. Que constate-t-on ?
Soit \(D_p\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice diagonale dont les \(p\) premiers coefficients sont égaux à 1, et les suivants, égaux à \(-1\). On note \(\mathscr{O}_p=\{P^TD_pP,\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\).
Montrer que la relation \(\mathscr{R}\), définie par \(A\mathscr{R} B\) s’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=P^TBP\), est une relation d’équivalence sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(p\in[[0,n]]\) tel que \(A\in\mathscr{O}_p\).
Soient \(p\), \(q\in[[0,n]]\). On suppose qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(D_p=Q^TD_qQ\) et on pose \(f:X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\longmapsto X^TD_pX\).
Montrer qu’il existe deux sous-espaces vectoriels de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) tels que \(\forall X\in F\setminus\{0\}\) (resp. \(G\setminus\{0\}\)), \(f(X)>0\) (resp. \(f(X)<0\)).
En déduire que \(p\leqslant q\), puis que \(p=q\).
Montrer que \((\mathscr{O}_p)_{0\leqslant p\leqslant n}\) est une partition de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).
On suppose que les \(\Delta_k\) sont non nuls et qu’il existe \(Q\in\mathscr{M}_{n-1}(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure avec une diagonale de 1 telle que \(Q^TA_n^{-1}Q=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}/\Delta_{n-2})\).
Montrer l’existence d’une matrice \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure à diagonale de 1 telle que \(P^TAP=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1})\).
[concours/ex1348] ens paris MP 1998 Caractériser les applications \(f\) de \(\mathbf{R}^n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[\forall X\in\mathbf{R}^n\quad\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\quad f(OX)=Of(X){}^tO.\]
[concours/ex1348]
[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.
[oraux/ex8003]
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