Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1458] ens paris MP 2017

1. Un endomorphisme diagonalisable d’un espace euclidien \(E\) est-il diagonalisable en base orthonormée ?

2. Même question pour un endomorphisme trigonalisable.

[planches/ex3926] centrale PSI 2018 Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est orthotrigonalisable s’il existe \(P\in\mathscr{O}(n)\) et \(T\) triangulaire telles que \(M={}^tPDP\). On veut déterminer l’ensemble des matrices orthotrigonalisables.

1. Déterminer les matrices orthotrigonalisables de la forme \(\pmatrix{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

2. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que si le polynôme caractéristique de \(M\) est scindé dans \(\mathbf{R}\), alors \(M\) est orthotrigonalisable. Conclure.

[examen/ex1627] mines MP 2024 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^TA=A^TA\). Montrer que si \(F\) est un sous-espace de \(\mathbf{R}^n\) stable par \(A\) alors \(F^\perp\) est stable par \(A^T\). On suppose \(n=3\). Montrer que \(A\) est soit diagonalisable, soit semblable à une matrice de la forme \(\pmatrix{\lambda&0&0\cr0&\alpha&\beta\cr0&-\beta&\alpha}\) avec \(\beta\neq0\).

[planches/ex9785] mines MP 2023 Soit \(A=(a_{i,j})\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que \(a_{1,1}\), … , \(a_{n,n}\) sont les valeurs propres de \(A\) prises avec multiplicité. Montrer que \(A\) est diagonale.

[planches/ex2024] mines MP 2017 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) s’écrit de façon unique sous la forme \(S+A\), avec \(S\) symétrique et \(A\) antisymétrique. Montrer que \(M\) et \({}^tM\) commutent si et seulement si \(S\) et \(A\) commutent.

2. On suppose dans cette question que \(A\) est inversible. Montrer que \(n\) est pair et qu’il existe \(\alpha_1\), … , \(\alpha_p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(A=P^{-1}BP\) avec \(B=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(B_1,\ldots,B_p)\) et \(B_i=\pmatrix{0&-\alpha_i\cr\alpha_i&0}\).

3. On suppose que \(M{}^tM={}^tMM\). Montrer qu’existent des réels \(\lambda_1\), … , \(\lambda_r\), \(\alpha_1\), … , \(\alpha_s\), des réels strictement positifs \(\beta_1\), … , \(\beta_s\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(M=P^{-1}CP\) avec : \[C=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(C_1,\ldots,C_s,\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\quad\hbox{et}\quad C_i=\pmatrix{\alpha_i&-\beta_i\cr\beta_i&\alpha_i}.\]