Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex4282] ccinp PC 2025 Soit \(n\geqslant 2\). Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est dite orthodiagonalisable (resp. orthotrigonalisable) s’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^TMP\) est diagonale (resp. triangulaire supérieure). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est orthodiagonalisable, alors \(A\) est diagonalisable.

2. Montrer que \(A\) est orthodiagonalisable si et seulement si \(A\) est symétrique.

3. Donner un exemple de matrice de \(\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) diagonalisable et non symétrique.

4. Soit \(M\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) inversible. On note \((u_1,\dots,u_n)\) le système de ses vecteurs colonnes. On munit \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) de son produit scalaire usuel.

   1. Montrer qu’il existe une base orthonormée \((v_1,\ldots,v_n)\) telle que \[\forall j\in\{1,\dots,n\},\quad u_j=\sum\limits_{i=1}^j\langle u_j,v_i\rangle v_i.\]

   2. Montrer qu’il existe \(Q\) orthogonale et \(R\) triangulaire supérieure telles que \(M=QR\).

5. Soit \(A\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\). Montrer que \(A\) est orthotrigonalisable si et seulement si \(A\) est trigonalisable.

6. Que dire d’une matrice antisymétrique et trigonalisable ?

[concours/ex0028] polytechnique MP 1996 Soit \(S=(a_{ij})\) une matrice symétrique réelle dont tous les mineurs principaux sont non nuls. Montrer qu’il existe une matrice \(T\) triangulaire supérieure avec des \(1\) sur la diagonale et une matrice diagonale \(\Delta\) telle que \(S={}^tT\Delta T\) et calculer les termes de \(\Delta\).

Indication : traiter le cas d’une matrice \((2,2)\) puis le cas général.

[examen/ex2720] ens paris MP 2025 Soit \(H=(H_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). On suppose que, pour tous \(i\neq j\), \(H_{i,j}\leqslant 0\). Si \((i,j)\in[\![1,n]\!]^2\), on dit que \(i\) et \(j\) sont connectés s’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\), \(k_1,\ldots,k_m\in[\![1,n]\!]\) tels que \(k_1=i\), \(k_m=j\) et, pour tout \(\ell\in[\![1,m-1]\!]\), \(H_{k_\ell,k_{\ell+1}}\neq0\).

Montrer que \(i\) et \(j\) sont connectés si et seulement si \(H^{-1}_{i,j}>0\), où \(H^{-1}_{i,j}\) est le coefficient d’indice \((i,j)\) de \(H^{-1}\).

[planches/ex4921] mines MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \({}^t\overline MM=I_n\).

1. Soit \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) symétrique. En considérant les parties réelle et imaginaire de \(A\), montrer que \(A\) s’écrit \(e^{iS}\) où \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Réciproque ?

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) si et seulement si \(A\) s’écrit \(Oe^{iS}\) avec \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

[oraux/ex5027] polytechnique MP 2012 Soient \(A\) et \(B\) dans \({\cal S}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(k\in\mathbf{N}\) impair tel que \(A^k+B^k=2I_n\). Montrer que \(2I_n-A-B\in S_n^+(\mathbf{R})\).

2. Soit \(j\in\mathbf{N}\) tel que \(2I_n-A^{2j}-B^{2j}\in S_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(2I_n-A^j-B^j\in S_n^+(\mathbf{R})\).