Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5581] centrale MP 2012 On note \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) l’ensemble des matrices réelles symétriques de taille \(n\) à coefficients positifs.

1. Une matrice de \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) peut-elle avoir une valeur propre strictement négative ? Que des valeurs propres strictement négatives ?

2. Soient \(A\in {\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\), \(\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\) ses valeurs propres, \((X_1,\ldots ,X_n)\) une base orthonormée telle que \(\forall i\in\{1,\ldots ,n\}\,\;A\,X_i=\lambda_i\,X_i\).

   Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on pose \(B(\alpha)=\left( \begin{array}{c|c} A&\alpha\,X_n\\ \hline \alpha\,{}^t\; X_n&0 \end{array}\right)\).

   1. Montrer que \(\lambda_1\),…, \(\lambda_{n-1}\) sont des valeurs propres de \(B(\alpha)\).

   2. On note \(\beta\) et \(\gamma\) les deux autres valeurs propres de \(B(\alpha)\). Exprimer \(\beta+\gamma\) et \(\beta\,\gamma\) en fonction de \(\lambda_n\) et \(\alpha\).

   3. Trouver \(A\in {\cal S}_2(\mathbf{R}^+)\) de valeurs propres \(-1\) et \(2\), et \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(B(\alpha)\) ait pour valeurs propres \(-1\), \(-2\) et \(4\).

[oraux/ex7849] polytechnique MP 2013 Soit \(m\in\mathbf{N}\) avec \(m\geqslant 2\). On note \(\omega_1\), … , \(\omega_m\) les racines \(m\)-ièmes de l’unuté. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que, pour tout \(z\in\mathbf{C}\) : \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(1-\omega_kz)=1\).

2. Montrer que \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(I_n-\omega_kA)=I_n\).

3. Soit \(X\in\mathbf{C}^n\) tel que \(X^*X=1\) où \(X^*={}^t\overline X\). Montrer l’existence de \(Z_1\), … , \(Z_m\) dans \(\mathbf{C}^n\) tels que \(1-X^*A^mX=\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m(Z_j^*Z_j-\omega_jZ_j^*AZ_j)\).

4. En déduire que si \(A\) vérifie \(X^*X\leqslant 1\Longrightarrow|X^*AX|\leqslant 1\), alors les puissances de \(A\) aussi.

[examen/ex1088] ens lyon MP 2024 Soient \(X\) un ensemble et \(K:X\times X\to \mathbb{R}\). On suppose que, pour tous \(n\geqslant 1\) et \(x_1\), … , \(x_n\in X\), \((K(x_i,x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Pour \(x\in X\), on note \(K_x:y\mapsto K(x,y)\). Soit \(E\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{X}\) engendré par les fonctions \((K_x)_{x\in X}\).

Soit \(a\), \(b\in E\). Par définition de \(E\), il existe \((\lambda_x)_{x\in X}\) et \((\mu_x)_{x\in X}\) dans \(\mathbb{R}^X\) n’admettant qu’un nombre fini de coefficients non nuls tels que \(a=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xK_x\) et \(b=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\mu_xK_x,\) et on pose \[\langle a,b\rangle=\sum\limits_{x,y\in X}^{}\lambda_x\mu_yK(x,y).\]

1. Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur \(E\).

2. Montrer qu’il existe \(f:X\to E\) telle que \(\forall x\), \(y\in X\), \(K(x,y)=\langle f(x), f(y) \rangle\).

[oraux/ex0874] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soient \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_N\}\) un ensemble à \(N\geqslant 1\) éléments, \(A_1\), … , \(A_p\) des parties de \(\Omega\). Pour \((i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2\), on pose \(B_{i,j}=(A_i\cup A_j)\setminus(A_i\cap A_j)\), et on note \(b_{i,j}\) la cardinal de \(b_{i,j}\). Soit \((n_1,\ldots,n_p)\in\mathbf{Z}^p\) tel que \(n_1+\cdots+n_p=1\). On veut montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\le qi,j\leqslant p}n_in_jb_{i,j}\leqslant 0\).

1. Soit \(E=(e_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant p,\ 1\leqslant j\leqslant N}\in\mathscr{M}_{N,p}(\mathbf{R})\) où \(e_{i,j}=1\) si \(\omega_i\in A_j\) et \(e_{i,j}=0\) sinon. Soit \(F={}^tEE\). On pose \(F=(f_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Exprimer \(f_{i,j}\) en fonction de \(a_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(A_i\cap A_j)\).

2. Montrer qu’il existe \(X\in\mathbf{Z}^p\) que l’on déterminera tel que \({}^tXX=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\).

3. Montrer que : \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\geqslant\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pn_ia_{i,i}\). En déduire l’inégalité souhaitée.

[examen/ex3864] centrale MP 2025 On pose, pour \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(N(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\left(\displaystyle\frac{|a_{i,j}|+|a_{j,i}|}{2}\right)\).

1. Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

2. L’application \(N\) est-elle une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

3. Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\). Montrer que \(|\lambda|\leqslant nN(A)\).