Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1220] ens PC 2024 Soit \(n\in\mathbf{N}\) et \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En notant \((s_1,\ldots ,s_n)\) les valeurs propres de \(M\), on pose \(N_p(M) = \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n |s_i|^p\right)^{1/p}\).

1. Montrer que \((A,B)\mapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)\) est un produit scalaire sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En déduire que \(N_2\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

2. Montrer que \(N_1(M) = \mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits (MO)|,\; O\in \mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). En déduire que \(N_1\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex5863] polytechnique MP 2020 Soient \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) telles que \(M=P^{-1}DP\). Pour \(j\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(M_j\) la sous-matrice de \(M\) obtenue en retirant les \(j\)-èmes ligne et colonne, et \(\lambda_1(M_j)\), … , \(\lambda_{n-1}(M_j)\) ses valeurs propres.

Montrer que pour tout \((i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \[p_{i,j}^2\mathop{\prod}\limits_{k\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{j\}}(\lambda_j-\lambda_k)=\mathop{\prod}\limits_{\ell=1}^{n-1}(\lambda_j-\lambda_\ell(M_i)).\]

[concours/ex2430] ens paris M 1995 Soit \(G=O_2(\mathbf{R})\) le groupe des matrices orthogonales de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Soit \(F\in\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\). Si \(x=(x_1,x_2)\) et \(y=(y_1,y_2)\) sont dans \(\mathbf{R}^2\), on note \(F(x,y)=F(x_1,x_2,y_1,y_2)\). On fait agir \(G\) sur \(\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\) par \(gF(x,y)=F(gx,gy)\). On suppose enfin que, pour tout \(g\) de \(G\), on a \(gF=F\).

1. Soit \(K(a,b,c)=F(a,0,b,c)\). Montrer que \(K\) est un polynôme en \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), \(ab\).

2. Montrer qu’il existe \(N\in\mathbf{R}[u,v,w]\) et \(\alpha\in\mathbf{N}\) tels que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\) : \[F(x,y)={N\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\over(x|x)^\alpha}.\]

3. Soit \(R\in\mathbf{R}[u,v,w]\) tel que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\), on ait : \[R\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)=0.\] Montrer que \(R=0\).

4. En déduire que \(F\) est de la forme \(H\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\) où \(H\in\mathbf{R}[u,v,w]\).

[concours/ex5946] centrale MP 2007

1. Soit \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(p\geqslant 2\) dans \(\mathbf{N}\) tel que \(PUP^{-1}=U^p\). Montrer que toutes les valeurs propres de \(U\) sont des racines de l’unité. En déduire qu’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\) tel que \(U^m=I_n\).

2. Montrer que tout morphisme du groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) est trivial.

[examen/ex2720] ens paris MP 2025 Soit \(H=(H_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). On suppose que, pour tous \(i\neq j\), \(H_{i,j}\leqslant 0\). Si \((i,j)\in[\![1,n]\!]^2\), on dit que \(i\) et \(j\) sont connectés s’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\), \(k_1,\ldots,k_m\in[\![1,n]\!]\) tels que \(k_1=i\), \(k_m=j\) et, pour tout \(\ell\in[\![1,m-1]\!]\), \(H_{k_\ell,k_{\ell+1}}\neq0\).

Montrer que \(i\) et \(j\) sont connectés si et seulement si \(H^{-1}_{i,j}>0\), où \(H^{-1}_{i,j}\) est le coefficient d’indice \((i,j)\) de \(H^{-1}\).