Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8165] centrale MP 2015

1. Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.

2. Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.

3. Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?

[planches/ex7558] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soient \(A_1\) et \(A_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. Toute combinaison linéaire de \(A_1\) et \(A_2\) est diagonalisable ;

2. une, et une seule, des propriétés suivantes est vraie :

   • toute combinaison linéaire non nulle de \(A_1\) et \(A_2\) admet deux valeurs propres réelles distinctes ;

   • les matrices \(A_1\) et \(A_2\) sont codiagonalisables ;

3. il existe \(S\in\mathscr{S}_2^{++}(\mathbf{R})\) telle que, pour toute combinaison linéaire \(A\) de \(A_1\) et \(A_2\), on ait \(SA\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex1348] ens paris MP 1998 Caractériser les applications \(f\) de \(\mathbf{R}^n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[\forall X\in\mathbf{R}^n\quad\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\quad f(OX)=Of(X){}^tO.\]

[concours/ex1875] ens paris MP 1999 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \[\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\quad a_{i,j}\geqslant 0,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}=1,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{k,j}=1.\] Soient \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) et \(Y=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) tels que \(0\leqslant x_n\leqslant x_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant x_1\) et \(0\leqslant y_n\leqslant y_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant y_1\). Montrer que \({}^tXAY\leqslant{}^tXY\).

Indication : on pourra introduire les suites \((a_i)\) et \((b_i)\) telles que \(x_n=a_n\), \(x_{n-1}=a_n+a_{n-1}\), … , \(x_1=a_n+\cdots+a_1\) et \(y_n=b_n\), \(y_{n-1}=b_n+b_{n-1}\), … , \(y_1=b_n+\cdots+b_1\).

[examen/ex1220] ens PC 2024 Soit \(n\in\mathbf{N}\) et \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En notant \((s_1,\ldots ,s_n)\) les valeurs propres de \(M\), on pose \(N_p(M) = \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n |s_i|^p\right)^{1/p}\).

1. Montrer que \((A,B)\mapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)\) est un produit scalaire sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En déduire que \(N_2\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

2. Montrer que \(N_1(M) = \mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits (MO)|,\; O\in \mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). En déduire que \(N_1\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).