Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2719] ens paris MP 2025 Déterminer l’ensemble des symétries linéaires sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) qui fixent un hyperplan et stabilisent l’ensemble \(\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

[concours/ex0351] ens lyon MP 1996 Soit \(A\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{Z})\) antisymétrique de déterminant non nul. Montrer qu’il existe une matrice \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{2n}(\mathbf{Z})\) et des entiers uniques \(d_1\), … , \(d_n\) tels que \(d_i\mid d_{i+1}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\) et \[{}^tPAP=\pmatrix{ &&&d_1&&0\cr &0&&&\ddots\cr &&&0&&d_n\cr -d_1&&0\cr &\ddots&&&0\cr 0&&-d_n}\]

[concours/ex1348] ens paris MP 1998 Caractériser les applications \(f\) de \(\mathbf{R}^n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[\forall X\in\mathbf{R}^n\quad\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\quad f(OX)=Of(X){}^tO.\]

[oraux/ex8267] mines PSI 2016 Soient \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(\Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\Omega S=M\Omega\) si et seulement si \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(\chi_S=\chi_M\).

[oraux/ex8209] polytechnique MP 2016 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\). On munit \(\mathbf{R}^m\) et \(\mathbf{R}^n\) de leur structure euclidienne canonique. On note \(S^{n-1}\) (resp. \(S^{m-1}\)) la sphère unité de \(\mathbf{R}^n\) (resp. \(\mathbf{R}^m\)). On note \(\sigma_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1},\ v\in S^{n-1}\}\).

1. Montrer qu’il existe \(u_1\) dans \(S^{m-1}\) et \(v_1\) dans \(S^{n-1}\) tels que \(\sigma_1=\langle u_1,Mv_1\rangle\) et que, si \(M\neq0\), \(\sigma_1>0\).

2. Montrer que \(Mv_1=\sigma_1u_1\) et que \({}^tMu_1=\sigma_1v_1\).

3. reprendre ces questions avec \(\sigma_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1}\cap u_1^\perp,\ v\in S^{n-1}\cap v_1^\perp\}\).

4. Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{O}_m(\mathbf{R})\), \(V\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Sigma\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\) telles que \(M=U\Sigma V\) et que les seuls coefficients non nuls de \(\Sigma\) soient \(\Sigma_{i,i}\) pour \(1\leqslant i\leqslant r\), tous strictement positifs. Interpréter ces coefficients à l’aide de la matrice \({}^tMM\).