Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8165] centrale MP 2015

1. Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.

2. Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.

3. Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?

[planches/ex2978] ens paris MP 2018 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\). Pour \(r\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(E_r\) l’ensemble des matrices de rang \(r\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\Phi:M\mapsto\|A-M\|\). Montrer qu’il existe une matrice \(A_r\) minimisant \(\Phi\) sur \(E_r\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Delta\) diagonale telles que \(A=O\Delta O'\).

[examen/ex1617] mines MP 2024 Soit \(E\) un espace réel de dimension \(n\geqslant 2\). Lorsque \(\Phi\) est un produit scalaire sur \(E\), on note \(\mathscr{O}_{\Phi}(E)\) le groupe des isométries pour \(\Phi\), et \(\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\) l’ensemble des endomorphismes autoadjoints définis positifs pour \(\Phi\).

1. On fixe un produit scalaire \(\Phi\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\Psi\) est un produit scalaire,

   2. \(\exists a\in\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\), \(\Psi(x,y)=\Phi(a(x),y)\).

2. Soit \(u\in\mathscr{O}_{\Phi}(E)\). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que \(u\in\mathscr{O}_{\Psi}(E)\) (on utilisera l’endomorphisme \(a\) de la question précédente).

3. Soit \(P\) l’ensemble des produits scalaires sur \(E\). Déterminer \(\mathop{\bigcap}\limits\limits_{\Psi \in P}\mathscr{O}_{\Psi}(E)\).

[oraux/ex0850] ens MP 2010 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients positifs. On suppose que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,n}=1\), qu’il existe \(n_0\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^{n_0}\) ait tous ses coefficients strictement positifs, et qu’il existe \((u_1,\ldots,u_n)\in(\mathbf{R}_+^*)^n\) tel que : \(\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \(u_ia_{i,j}=u_ja_{j,i}\).

1. On pose, pour \(x\) et \(y\) dans \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\), \(\phi(x,y)=\sum\limits_{i=1}^nu_ix_iy_i\). Montrer que \(\phi\) est un produit scalaire.

2. Montrer que toutes les valeurs propres complexes de \(A\) sont dans l’intervalle \(\left]-1,1\right]\).

3. Montrer que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de \(A\).

[oraux/ex0929] centrale PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche à écrire \(A={}^tLL\) où \(L\) est triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs.

1. Étudier l’existence de \(L\) pour \(A=\left(\begin{array}{cc}8&5\\5&4\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cc}4&6\\6&1\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&4&10&12\\3&10&25&14\\ 4&12&14&35\end{array}\right)\).

2. Trouver une relation entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits L\).

3. Si \(L\) existe, montrer que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,,i}>0\). Est-ce suffisant ?