Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1348] ens paris MP 1998 Caractériser les applications \(f\) de \(\mathbf{R}^n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[\forall X\in\mathbf{R}^n\quad\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\quad f(OX)=Of(X){}^tO.\]

[examen/ex2235] centrale MP 2024

1. Soit \(M\in\mathscr{S}_d(\mathbb{R})\). Montrer que le spectre de \(M\) est inclus dans \(\mathbf{R}^+\) si et seulement si \(\forall x\in\mathbb{R}^d\), \(\langle Mx,x\rangle\geqslant 0\).

2. Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d\). On pose, pour \(X\in\mathscr{S}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\). Montrer que \(\mathscr{L}\) préserve le caractère symétrique positif.

3. Donner \(p\in\mathbb{N}\), \(\Pi:\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\rightarrow\mathscr{M}_p(\mathbb{R})\) morphisme d’algèbre vérifiant \(\Pi(X^T)=\Pi(X)^T\) et \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbb{R})\) vérifiant \(V^TV=I_d\) tels que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=V^T\Pi(X)V\).

   Pour \(M\), \(N\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\), on note \(M\geqslant N\) si et seulement si \(M-N\) est symétrique positive.

4. Montrer \(\mathscr{L}(X^TX)\geqslant\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

5. On suppose qu’il existe \(\mathscr{K}\) du même type que \(\mathscr{L}\) tel que \(\mathscr{L}\mathbin{\circ}\mathscr{K}=\mathscr{K}\mathbin{\circ}\mathscr{L}=\mathscr{I}\). Montrer que : \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X^TX)=\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

[planches/ex2978] ens paris MP 2018 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\). Pour \(r\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(E_r\) l’ensemble des matrices de rang \(r\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\Phi:M\mapsto\|A-M\|\). Montrer qu’il existe une matrice \(A_r\) minimisant \(\Phi\) sur \(E_r\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Delta\) diagonale telles que \(A=O\Delta O'\).

[oraux/ex0929] centrale PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche à écrire \(A={}^tLL\) où \(L\) est triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs.

1. Étudier l’existence de \(L\) pour \(A=\left(\begin{array}{cc}8&5\\5&4\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cc}4&6\\6&1\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&4&10&12\\3&10&25&14\\ 4&12&14&35\end{array}\right)\).

2. Trouver une relation entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits L\).

3. Si \(L\) existe, montrer que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,,i}>0\). Est-ce suffisant ?

[planches/ex9197] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(A\), \(B\) deux matrices de \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) qui n’ont pas \(-1\) pour valeur propre et telles que \(AB\) n’ait pas \(1\) pour valeur propre.

Montrer que \((A-I_n)(BA-I_n)^{-1}(B-I_n)\) est antisymétrique.