Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5027] polytechnique MP 2012 Soient \(A\) et \(B\) dans \({\cal S}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(k\in\mathbf{N}\) impair tel que \(A^k+B^k=2I_n\). Montrer que \(2I_n-A-B\in S_n^+(\mathbf{R})\).

2. Soit \(j\in\mathbf{N}\) tel que \(2I_n-A^{2j}-B^{2j}\in S_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(2I_n-A^j-B^j\in S_n^+(\mathbf{R})\).

[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).

1. Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).

2. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]

[examen/ex1617] mines MP 2024 Soit \(E\) un espace réel de dimension \(n\geqslant 2\). Lorsque \(\Phi\) est un produit scalaire sur \(E\), on note \(\mathscr{O}_{\Phi}(E)\) le groupe des isométries pour \(\Phi\), et \(\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\) l’ensemble des endomorphismes autoadjoints définis positifs pour \(\Phi\).

1. On fixe un produit scalaire \(\Phi\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\Psi\) est un produit scalaire,

   2. \(\exists a\in\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\), \(\Psi(x,y)=\Phi(a(x),y)\).

2. Soit \(u\in\mathscr{O}_{\Phi}(E)\). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que \(u\in\mathscr{O}_{\Psi}(E)\) (on utilisera l’endomorphisme \(a\) de la question précédente).

3. Soit \(P\) l’ensemble des produits scalaires sur \(E\). Déterminer \(\mathop{\bigcap}\limits\limits_{\Psi \in P}\mathscr{O}_{\Psi}(E)\).

[examen/ex2719] ens paris MP 2025 Déterminer l’ensemble des symétries linéaires sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) qui fixent un hyperplan et stabilisent l’ensemble \(\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

[planches/ex2022] mines MP 2017 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(A\) antisymétrique telle que \(S+A\) soit orthogonale.