Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3558] mines PSI 2025 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables sur \(\mathbf{R}\).

1. Donner un exemple de tel hyperplan.

2. Soit \(F=\left\{\pmatrix{a&b\cr-b&a}\right\}_{(a,b)\in\mathbf{R}^2}\). Montrer que \(F\cap V\neq\{0\}\) et en déduire que \(I_2\in V\).

3. On munit \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) de son produit scalaire canonique. Quelle est la dimension de \(V^\perp\) ?

   Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(QVQ^{-1}=S_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex1464] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(A^*={}^t\overline A\) et on introduit l’ensemble \(U_n(\mathbf{C})\) des matrices unitaires \(A\), matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^*A=I_n\). On admet que toute matrice unitaire est unitairement semblable à une matrice diagonale.

On pose, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\) et \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A^*A}\).

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\|I_n-[A,B]\|\leqslant\sqrt2\|I_n-A\|\times\|I_n-B\|\).

   Indication : On pourra montrer que, si \((C,P)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\times U_n(\mathbf{C})\), \(\|CP\|=\|PC\|=\|C\|\).

2. Soient \(A\), \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(A\) commute avec \([A,B]\) et que \(\|I_n-B\|<\sqrt2\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.

[examen/ex3073] polytechnique, espci PC 2025 Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_p\).

Pour \(X\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), on pose \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\).

On écrit \(M\geqslant N\) pour signifier \(M-N\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(L(X^TX)\geqslant L(X^T)L(X)\).

[concours/ex3747] centrale M 1992 Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension finie et \(f\) une isométrie de \(E\).

1. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) est paire, alors \(f\) est une isométrie positive.

2. On suppose que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), soit \(g\) une isométrie telle que \(fg=gf\). Montrer que \(g\) est positive.

[planches/ex8524] centrale MP 2022 (avec Python)

Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(\theta\in\mathbf{R}\) et \((p,q)\in[[1,n]]\) avec \(p\neq q\), on note \(\Omega_{p,q}(\theta)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice dont les coefficients d’indices \((p,p)\) et \((q,q)\) valent \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), les autres coefficients diagonaux valant 1, et \([\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=-[\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=sin\theta\). Tous les autres coefficients sont nuls.

1. 1. Coder une fonction Python qui renvoie la matrice \(\Omega_{p,q}(\theta)\).

   2. Coder une fonction Python qui, pour une matrice \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), renvoie un couple \((p,q)\in[[1,n]]^2\) avec \(p<q\) tel que \(|a_{p,q}|=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_{i,j}|\).

   3. Coder une fonction Python prenant en argument \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et qui renvoie la matrice \(B=\Omega_{p,q}(\theta)^TA\Omega_{p,q}(\theta)\) où \((p,q)\) est défini comme précédemment et \(\theta\in\left[\displaystyle-{\pi\over4},{\pi\over4}\right]\) vérifie \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits(2\theta)=\displaystyle{a_{p,p}-a_{q,q}\over2a_{p,q}}\).

2. Avec les notations précédentes, montrer que \(B\) est symétrique et de même norme euclidienne canonique que \(A\).