Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0471] polytechnique MP 2005 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(\{X\in\mathbf{C}^n\mid X^*AX=X^*BX=0\}=\{0\}\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) et \(P^*BP\) soient triangulaires supérieures.

[examen/ex3558] mines PSI 2025 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables sur \(\mathbf{R}\).

1. Donner un exemple de tel hyperplan.

2. Soit \(F=\left\{\pmatrix{a&b\cr-b&a}\right\}_{(a,b)\in\mathbf{R}^2}\). Montrer que \(F\cap V\neq\{0\}\) et en déduire que \(I_2\in V\).

3. On munit \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) de son produit scalaire canonique. Quelle est la dimension de \(V^\perp\) ?

   Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(QVQ^{-1}=S_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex0497] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soit \(A\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\), telle qu’il existe \(n_0\) pour lequel tous les coefficients de \(A^{n_0}\) sont strictement positifs. On note \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_k)_{k\in\mathbf{Z}}\) dans \([[1,N]]^2\) telles que, pour tout \(k\in\mathbf{Z}\), \(A_{\omega_k,\omega_{k+1}}=1\).

1. Montrer que \(\Omega\) n’est pas vide.

2. Soit \(\pi_n\) le nombre d’éléments de \(\Omega\) qui sont \(n\)-périodiques. Montrer que le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{\pi_n\over n}x^n\) est strictement positif.

3. Montrer que \(\xi(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_n\over n}x^n\right)\) est une fraction rationnelle de \(\mathbf{Q}(X)\).

[oraux/ex5025] polytechnique MP 2012

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(P\) inversible telle que \({}^tPAP\) et \({}^tPBP\) soient diagonales.

2. Le résultat est-il encore vrai si l’on suppose simplement \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{+}(\mathbf{R})\) ?

[concours/ex1353] ens paris MP 1998 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) deux matrices hermitiennes positives. Montrer qu’il existe \(T\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(T^*AT\) et \(T^*BT\) soient diagonales.