Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0471] polytechnique MP 2005 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(\{X\in\mathbf{C}^n\mid X^*AX=X^*BX=0\}=\{0\}\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) et \(P^*BP\) soient triangulaires supérieures.

[concours/ex8869] ens paris MP 2010 Soient \(m\) un entier \(\geqslant 2\), \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant m}\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients appartiennent à \(\{0,1\}\) et telle qu’il existe \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\) tel que tous les coefficients de \(A^p\) soient \(>0\). On note \(F\) l’ensemble des fonctions de \(\mathbf{Z}\) dans \(\{1,\ldots,m\}\), \(\theta\) l’application de \(F\) dans \(F\) qui à la suite \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) associe la suite \((\omega_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). On note enfin \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) appartenant à \(F\) telles que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\).

1. Vérifier que \(\theta\) est une bijection de \(F\) sur \(F\), que \(\Omega\) est non vide.

2. Pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soient \(P_n\) l’ensemble des points fixes de \(\theta^n\) appartenant à \(\Omega\), \(\pi_n\) le cardinal de \(P_n\), \(P=\mathop{\bigcup}\limits_{n\in\mathbf{N}^*}P_n\). Montrer qu’existe \(R\) dans \(\mathbf{Q}(X)\) dont 0 n’est pas pôle et \(\eta>0\) tels que, pour \(x\in\left]-\eta,\eta\right[\), on ait : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_nx^n\over n}\right)=R(x)\).

3. Pour \(\omega\) dans \(P\), soit \(p(\omega)\) le plus petit \(n\) de \(\mathbf{N}^*\) tel que \(\omega\) appartienne à \(P_n\). Enfin, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soit \(Q_n\) l’ensemble des \(\omega\) de \(P\) tels que \(p(\omega)=n\). On définit une relation \(\sim\) sur \(P\) par : \(\omega\sim\omega'\) si et seulement s’il existe \(k\) dans \(\mathbf{Z}\) tel que \(\theta^k(\omega)=\omega'\). Vérifier que c’est une relation d’équivalence sur \(P\), que \(p\) est constante sur les classes de \(\sim\). Si \(\widetilde P\) est l’ensemble des classes d’équivalence de \(\sim\) et \(\tilde p\) la fonction déduite de \(p\) sur \(\widetilde P\), montrer, pour \(x\) réel assez près de 0, l’égalité : \(R(x)=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{u\in\widetilde P}{1\over1-x^{\tilde p(u)}}\).

[planches/ex3199] polytechnique MP 2018 Lorsque \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) on pose \(N(M)=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sous-multiplicative, invariante par la conjugaison des éléments du groupe orthogonal.

2. Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). On note \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose que \(N(B-I_3)<2\) et que \(A\) commute avec \([A,B]\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.

3. Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). Montrer que \(N(I-[A,B])\leqslant 2N(I-A)\,N(I-B)\).

[planches/ex1464] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(A^*={}^t\overline A\) et on introduit l’ensemble \(U_n(\mathbf{C})\) des matrices unitaires \(A\), matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^*A=I_n\). On admet que toute matrice unitaire est unitairement semblable à une matrice diagonale.

On pose, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\) et \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A^*A}\).

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\|I_n-[A,B]\|\leqslant\sqrt2\|I_n-A\|\times\|I_n-B\|\).

   Indication : On pourra montrer que, si \((C,P)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\times U_n(\mathbf{C})\), \(\|CP\|=\|PC\|=\|C\|\).

2. Soient \(A\), \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(A\) commute avec \([A,B]\) et que \(\|I_n-B\|<\sqrt2\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.

[planches/ex0497] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soit \(A\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\), telle qu’il existe \(n_0\) pour lequel tous les coefficients de \(A^{n_0}\) sont strictement positifs. On note \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_k)_{k\in\mathbf{Z}}\) dans \([[1,N]]^2\) telles que, pour tout \(k\in\mathbf{Z}\), \(A_{\omega_k,\omega_{k+1}}=1\).

1. Montrer que \(\Omega\) n’est pas vide.

2. Soit \(\pi_n\) le nombre d’éléments de \(\Omega\) qui sont \(n\)-périodiques. Montrer que le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{\pi_n\over n}x^n\) est strictement positif.

3. Montrer que \(\xi(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_n\over n}x^n\right)\) est une fraction rationnelle de \(\mathbf{Q}(X)\).