[concours/ex6245] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).
[concours/ex6245]
Montrer que \(A\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.
Montrer que \(A\) s’écrit \(XY-YX\) avec \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).
Montrer que \(A\) est orthosemblable à une matrice à diagonale nulle.
[oraux/ex5292] mines MP 2012 Soient \((E,\left<\;,\;\right>)\) un espace euclidien et \(f\in{\cal S}(E)\).
[oraux/ex5292]
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de \(f\) pour qu’il existe \(x_0\neq0\) tel que \(\left< f(x_0), x_0\right>=0\).
On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits f=0\). Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) n’a que des \(0\) sur la diagonale.
[concours/ex3008] polytechnique M 1993 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\). Montrer qu’il existe \(U\) orthogonale telle que \(U^{-1}AU\) ait ses termes diagonaux nuls.
[concours/ex3008]
[planches/ex6710] mines MP 2021 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) si et seulement si \(A\) est orthogonalement semblable à une matrice dont les éléments diagonaux sont nuls.
[planches/ex6710]
[oraux/ex8262] mines PSI 2016 Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\) symétrique tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u)=0\).
[oraux/ex8262]
Montrer qu’il existe \(x\) non nul dans \(E\) tel que \(\langle x,u(x)\rangle=0\).
Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.
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