Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1220] ens PC 2024 Soit \(n\in\mathbf{N}\) et \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En notant \((s_1,\ldots ,s_n)\) les valeurs propres de \(M\), on pose \(N_p(M) = \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n |s_i|^p\right)^{1/p}\).

1. Montrer que \((A,B)\mapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)\) est un produit scalaire sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En déduire que \(N_2\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

2. Montrer que \(N_1(M) = \mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits (MO)|,\; O\in \mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). En déduire que \(N_1\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

[oraux/ex8222] polytechnique, ens cachan PSI 2016

1. Soit \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(d_1,\ldots,d_n)\). Étudier l’image de \(f:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\mapsto DX-XD\).

2. Soit \((u,v,w)\in\mathbf{R}^3\). Montrer qu’il existe \(x\in\mathbf{R}\) tel que : \[u\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2(x)+v\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(x)+w\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(x)={u+v\over2}.\]

3. Soit \((x,y,z)\in\mathbf{R}^3\). Montrer que : \(\left|z-\displaystyle{x+y\over2}\right|\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(|z-x|,|z-y|)\).

4. On admet la propriété : pour toute \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), il existe \(P\) orthogonale telle que \(PAP^{-1}\) ait tous ses coefficients diagonaux égaux. Démontrer l’équivalence entre :

   1. il existe \(X\), \(Y\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A=XY-YX\) ;

   2. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).

5. On se propose de démontrer la propriété admise plus haut.

   1. Examiner le cas \(n=2\).

   2. Soit \(\delta:M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}(|m_{i,i}-m_{i,j}|)\). Montrer que \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\mapsto\delta(PAP^{-1})\) possède un maximum.

   3. Supposons que \(\delta(A)>0\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\delta(PAP^{-1})<\delta(A)\). Conclure.

[concours/ex2145] polytechnique M 1995 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((x,y,z)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^n\times\mathbf{R}^n\). On pose \[M(x,y,z)=\left|\begin{array}{cccccc} x&y_1&y_2&\cdots&\cdots&y_n\\ y_1&z_1&0&\cdots&\cdots&0\\ y_2&0&z_2&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ y_{n-1}&0&\cdots&0&z_{n-1}&0\\ y_n&0&\cdots&\cdots&0&z_n \end{array}\right|.\]

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M(x,y,z)\).

2. On pose \(S=\{M(x,y,z)\ \hbox{positive}\}\), \(S_0=\{M(x,0,0)\mid x\geqslant 0\}\) et, pour \(1\leqslant i\leqslant n\), \[S_i=\{M\bigl(x,(0,\ldots,y_i,\ldots,0),(0,\ldots,z_i,\ldots,0)\bigr)\mid x\geqslant 0,\ z_i\geqslant 0,\ xz_i=y_i^2\}.\] Montrer que \(S=S_0+S_1+\cdots+S_n\).

[examen/ex2720] ens paris MP 2025 Soit \(H=(H_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). On suppose que, pour tous \(i\neq j\), \(H_{i,j}\leqslant 0\). Si \((i,j)\in[\![1,n]\!]^2\), on dit que \(i\) et \(j\) sont connectés s’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\), \(k_1,\ldots,k_m\in[\![1,n]\!]\) tels que \(k_1=i\), \(k_m=j\) et, pour tout \(\ell\in[\![1,m-1]\!]\), \(H_{k_\ell,k_{\ell+1}}\neq0\).

Montrer que \(i\) et \(j\) sont connectés si et seulement si \(H^{-1}_{i,j}>0\), où \(H^{-1}_{i,j}\) est le coefficient d’indice \((i,j)\) de \(H^{-1}\).

[oraux/ex0490] polytechnique PC 2005 Soient \(u\) un vecteur unitaire de l’espace euclidien \(\mathbf{R}^n\) et \(P_u\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(u)\).

1. Montrer que \(P_u\) est symétrique positif et que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(P_u)=1\).

2. Soit \(A\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AP_u)\).

3. Soient \(A\in\mathscr{S}^+(\mathbf{R}^n)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=1\) et \(x\in\mathbf{R}^n\) unitaire. Montrer que \(\langle x,Ax\rangle\in[0,1]\).

4. Soient \(A\), \(B\in\mathscr{S}^+(\mathbf{R}^n)\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B=1\), et \(c\in\left]0,1\right[\) tel que \(P_u=cA+(1-c)B\). Montrer que \(A=B=P_u\).

[oraux/ex0850] ens MP 2010 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients positifs. On suppose que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,n}=1\), qu’il existe \(n_0\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^{n_0}\) ait tous ses coefficients strictement positifs, et qu’il existe \((u_1,\ldots,u_n)\in(\mathbf{R}_+^*)^n\) tel que : \(\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \(u_ia_{i,j}=u_ja_{j,i}\).

1. On pose, pour \(x\) et \(y\) dans \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\), \(\phi(x,y)=\sum\limits_{i=1}^nu_ix_iy_i\). Montrer que \(\phi\) est un produit scalaire.

2. Montrer que toutes les valeurs propres complexes de \(A\) sont dans l’intervalle \(\left]-1,1\right]\).

3. Montrer que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de \(A\).

[concours/ex0351] ens lyon MP 1996 Soit \(A\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{Z})\) antisymétrique de déterminant non nul. Montrer qu’il existe une matrice \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{2n}(\mathbf{Z})\) et des entiers uniques \(d_1\), … , \(d_n\) tels que \(d_i\mid d_{i+1}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\) et \[{}^tPAP=\pmatrix{ &&&d_1&&0\cr &0&&&\ddots\cr &&&0&&d_n\cr -d_1&&0\cr &\ddots&&&0\cr 0&&-d_n}\]

[examen/ex1224] ens PC 2024

1. Soit \(S\in \mathscr{S}_{n}(\mathbb{R)}\) inversible. Montrer que les assertions sont équivalentes :

   1. \(S\) admet \(k\) valeurs propres positives (comptées avec multiplicité),

   2. il existe des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits F=k\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits G=n-k\) et \(\forall X\in F\), \(X^{T}SX\geqslant 0\) et \(\forall Y\in G\), \(Y^{T}SY\leqslant 0\).

2. Soit \(S\in \mathscr{S}_{n}(\mathbb{R)}\) inversible. Soit \(P\in \mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{n}(\mathbb{R)}\). Montrer que \(P^{T}SP\) et \(S\) ont le même nombre de valeurs propres positives.

[planches/ex7569] ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(X_0\in\mathbf{R}^n\setminus\{0\}\). Pour \(k\in\mathbf{N}\), on pose \(V_k:=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A^iX0)_{0\leqslant i\leqslant k}\).

1. Montrer qu’il existe \(k_0\in\mathbf{N}\) tel que \(\forall k\in[[0,k_0]]\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits V_k=k+1\) et \(\forall k>k_0\), \(V_k=V_{k_0}\).

2. On définit par récurrence \((v_i)_{0\leqslant i\leqslant k_0}\) par \(v_0=\displaystyle{1\over\|X_0\|}X0\), \(\widetilde v_j:=Av_{j-1}-\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{j-1}\langle Av_{j-1},v_i\rangle v_i\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), \(v_j=\displaystyle{1\over\|\widetilde v_j\|}\widetilde v_j\). Montrer que cette famille est bien définie et est une base orthonormale de \(V_{k_0}\).

3. Montrer que \(\widetilde v_j-Av_{j-1}\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(v_{j-1},v_{j-2})\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), où \(v_{-1}:=0\).

4. On définit la matrice \(T\in\mathscr{S}_{k_0+1}(\mathbf{R})\) par \(t_{i,i}=\langle Av_i,v_i\rangle\), \(t_{i,i+1}=t_{i+1,i}=\|\widetilde v_{i+1}\|\) et \(t_{i,j}=0\) pour tout couple \((i,j)\in[[0,k0]]^2\) tel que \(|i-j|>1\). Montrer que \(T\) a le même spectre que l’endomorphisme induit par \(X\longmapsto AX\) sur \(V_{k_0}\).

[examen/ex1323] polytechnique MP 2024 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(H_n=\{M\in \mathscr{M}_n(\{-1,1\})\;;\; M^TM=nI_n\}\).

1. Déterminer \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\).

2. Soit \(n\geqslant 4\) tel que \(H_n\neq \varnothing\). Montrer que \(4\) divise \(n\).

3. À l’aide de \(A\in{H}_n\), construire une matrice \(B\in{H}_{2n}\).

4. Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p\equiv 3\, [4]\). Montrer que \(H_{p+1}\) n’est pas vide.

[examen/ex2719] ens paris MP 2025 Déterminer l’ensemble des symétries linéaires sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) qui fixent un hyperplan et stabilisent l’ensemble \(\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).

1. Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).

2. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]

[examen/ex1088] ens lyon MP 2024 Soient \(X\) un ensemble et \(K:X\times X\to \mathbb{R}\). On suppose que, pour tous \(n\geqslant 1\) et \(x_1\), … , \(x_n\in X\), \((K(x_i,x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Pour \(x\in X\), on note \(K_x:y\mapsto K(x,y)\). Soit \(E\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{X}\) engendré par les fonctions \((K_x)_{x\in X}\).

Soit \(a\), \(b\in E\). Par définition de \(E\), il existe \((\lambda_x)_{x\in X}\) et \((\mu_x)_{x\in X}\) dans \(\mathbb{R}^X\) n’admettant qu’un nombre fini de coefficients non nuls tels que \(a=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xK_x\) et \(b=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\mu_xK_x,\) et on pose \[\langle a,b\rangle=\sum\limits_{x,y\in X}^{}\lambda_x\mu_yK(x,y).\]

1. Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur \(E\).

2. Montrer qu’il existe \(f:X\to E\) telle que \(\forall x\), \(y\in X\), \(K(x,y)=\langle f(x), f(y) \rangle\).

[planches/ex9197] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(A\), \(B\) deux matrices de \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) qui n’ont pas \(-1\) pour valeur propre et telles que \(AB\) n’ait pas \(1\) pour valeur propre.

Montrer que \((A-I_n)(BA-I_n)^{-1}(B-I_n)\) est antisymétrique.

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[oraux/ex0696] centrale MP 2008 (avec Maple)

1. Déterminer toutes les matrices \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2}\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) telles que \(a_{1,1}\) soit égal à la plus petite valeur propre de \(A\).

2. Déterminer toutes les matrices \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\) telles que \(a_{1,1}\) soit égal à la plus petite valeur propre de \(A\) et \(a_{3,3}\) à la plus grande.

[planches/ex5863] polytechnique MP 2020 Soient \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) telles que \(M=P^{-1}DP\). Pour \(j\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(M_j\) la sous-matrice de \(M\) obtenue en retirant les \(j\)-èmes ligne et colonne, et \(\lambda_1(M_j)\), … , \(\lambda_{n-1}(M_j)\) ses valeurs propres.

Montrer que pour tout \((i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \[p_{i,j}^2\mathop{\prod}\limits_{k\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{j\}}(\lambda_j-\lambda_k)=\mathop{\prod}\limits_{\ell=1}^{n-1}(\lambda_j-\lambda_\ell(M_i)).\]

[concours/ex1348] ens paris MP 1998 Caractériser les applications \(f\) de \(\mathbf{R}^n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[\forall X\in\mathbf{R}^n\quad\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\quad f(OX)=Of(X){}^tO.\]

[oraux/ex0823] centrale PSI 2009 Soient \(E=\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\), \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et \(\Phi:S\in E\mapsto AS+S{}^tA\in E\).

1. Donner la matrice de \(\Phi\) dans une base de \(E\).

2. Quelle relation existe-t-il entre \(\chi_A\) et \(\chi_\Phi\) ?

3. Si \(\Phi\) est diagonalisable, la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Si \(A\) est diagonalisable, l’endomorphisme \(\Phi\) est-il diagonalisable ?

[planches/ex7572] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(C(A)\) sa comatrice. Soit \(U\), \(V\) deux vecteurs unitaires de \(\mathbf{R}^n\). On note \(P\) et \(Q\) les matrices canoniquement associées aux projections orthogonales sur \(\{U\}^\perp\) et \(\{V\}^\perp\), respectivement. Montrer que \(C(P)C(Q)C(P)=\langle U,V\rangle^2C(P)\).