Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0874] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soient \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_N\}\) un ensemble à \(N\geqslant 1\) éléments, \(A_1\), … , \(A_p\) des parties de \(\Omega\). Pour \((i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2\), on pose \(B_{i,j}=(A_i\cup A_j)\setminus(A_i\cap A_j)\), et on note \(b_{i,j}\) la cardinal de \(b_{i,j}\). Soit \((n_1,\ldots,n_p)\in\mathbf{Z}^p\) tel que \(n_1+\cdots+n_p=1\). On veut montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\le qi,j\leqslant p}n_in_jb_{i,j}\leqslant 0\).

1. Soit \(E=(e_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant p,\ 1\leqslant j\leqslant N}\in\mathscr{M}_{N,p}(\mathbf{R})\) où \(e_{i,j}=1\) si \(\omega_i\in A_j\) et \(e_{i,j}=0\) sinon. Soit \(F={}^tEE\). On pose \(F=(f_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Exprimer \(f_{i,j}\) en fonction de \(a_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(A_i\cap A_j)\).

2. Montrer qu’il existe \(X\in\mathbf{Z}^p\) que l’on déterminera tel que \({}^tXX=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\).

3. Montrer que : \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\geqslant\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pn_ia_{i,i}\). En déduire l’inégalité souhaitée.

[planches/ex4921] mines MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \({}^t\overline MM=I_n\).

1. Soit \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) symétrique. En considérant les parties réelle et imaginaire de \(A\), montrer que \(A\) s’écrit \(e^{iS}\) où \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Réciproque ?

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) si et seulement si \(A\) s’écrit \(Oe^{iS}\) avec \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex7568] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et \(k\in\mathbf{N}^*\).

Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((AB)^{2^k}\right)\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A^2B^2)^{2^{k-1}}\right)\).

[oraux/ex0753] polytechnique MP 2009 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) antisymétriques. Montrer que le polynôme caractéristique de \(AB\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et que ses racines sont d’ordre pair.

[planches/ex7569] ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(X_0\in\mathbf{R}^n\setminus\{0\}\). Pour \(k\in\mathbf{N}\), on pose \(V_k:=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A^iX0)_{0\leqslant i\leqslant k}\).

1. Montrer qu’il existe \(k_0\in\mathbf{N}\) tel que \(\forall k\in[[0,k_0]]\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits V_k=k+1\) et \(\forall k>k_0\), \(V_k=V_{k_0}\).

2. On définit par récurrence \((v_i)_{0\leqslant i\leqslant k_0}\) par \(v_0=\displaystyle{1\over\|X_0\|}X0\), \(\widetilde v_j:=Av_{j-1}-\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{j-1}\langle Av_{j-1},v_i\rangle v_i\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), \(v_j=\displaystyle{1\over\|\widetilde v_j\|}\widetilde v_j\). Montrer que cette famille est bien définie et est une base orthonormale de \(V_{k_0}\).

3. Montrer que \(\widetilde v_j-Av_{j-1}\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(v_{j-1},v_{j-2})\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), où \(v_{-1}:=0\).

4. On définit la matrice \(T\in\mathscr{S}_{k_0+1}(\mathbf{R})\) par \(t_{i,i}=\langle Av_i,v_i\rangle\), \(t_{i,i+1}=t_{i+1,i}=\|\widetilde v_{i+1}\|\) et \(t_{i,j}=0\) pour tout couple \((i,j)\in[[0,k0]]^2\) tel que \(|i-j|>1\). Montrer que \(T\) a le même spectre que l’endomorphisme induit par \(X\longmapsto AX\) sur \(V_{k_0}\).

[planches/ex7558] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soient \(A_1\) et \(A_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. Toute combinaison linéaire de \(A_1\) et \(A_2\) est diagonalisable ;

2. une, et une seule, des propriétés suivantes est vraie :

   • toute combinaison linéaire non nulle de \(A_1\) et \(A_2\) admet deux valeurs propres réelles distinctes ;

   • les matrices \(A_1\) et \(A_2\) sont codiagonalisables ;

3. il existe \(S\in\mathscr{S}_2^{++}(\mathbf{R})\) telle que, pour toute combinaison linéaire \(A\) de \(A_1\) et \(A_2\), on ait \(SA\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex5069] mines PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice symétrique. On pose \(\rho(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|\lambda|,\ \lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\}\) et on note \(E\) l’ensemble des vecteurs propres de \(A\) de norme 1 (pour la norme euclidienne canonique de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\)). Pour \(X\in E\), on pose \(F(A,X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A-uX{}^tX)^2\right)},\ u\in\mathbf{R}\right\}\) puis \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{F(A,X),\ X\in E\}\). Montrer que \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)-\rho(A^2)\).

[examen/ex1323] polytechnique MP 2024 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(H_n=\{M\in \mathscr{M}_n(\{-1,1\})\;;\; M^TM=nI_n\}\).

1. Déterminer \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\).

2. Soit \(n\geqslant 4\) tel que \(H_n\neq \varnothing\). Montrer que \(4\) divise \(n\).

3. À l’aide de \(A\in{H}_n\), construire une matrice \(B\in{H}_{2n}\).

4. Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p\equiv 3\, [4]\). Montrer que \(H_{p+1}\) n’est pas vide.

[planches/ex9197] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(A\), \(B\) deux matrices de \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) qui n’ont pas \(-1\) pour valeur propre et telles que \(AB\) n’ait pas \(1\) pour valeur propre.

Montrer que \((A-I_n)(BA-I_n)^{-1}(B-I_n)\) est antisymétrique.

[planches/ex8523] centrale MP 2022 (avec Python)

Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Pour \(k\in[[1,n]]\), on note \(A_k\) la matrice extraite de \(A\) constituée de ses \(k\) premières lignes et \(k\) premières colonnes, et on pose \(\Delta_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A_k)\).

1. 1. Écrire une fonction qui renvoie une matrice symétrique de taille \(n\), à coefficients aléatoirement choisis dans l’intervalle \([[-20,20]]\).

   2. Écrire une fonction, prenant une matrice carrée \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) en argument, et qui renvoie le couple \((\ell_1,\ell_2)\) où \(\ell_1=[\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1}]\) et \(\ell_2\) est la liste des valeurs propres de \(M\).

   3. Tester la fonction précédente sur différentes matrices symétriques. Que constate-t-on ?

   Soit \(D_p\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice diagonale dont les \(p\) premiers coefficients sont égaux à 1, et les suivants, égaux à \(-1\). On note \(\mathscr{O}_p=\{P^TD_pP,\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\).

2. Montrer que la relation \(\mathscr{R}\), définie par \(A\mathscr{R} B\) s’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=P^TBP\), est une relation d’équivalence sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

3. Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(p\in[[0,n]]\) tel que \(A\in\mathscr{O}_p\).

4. Soient \(p\), \(q\in[[0,n]]\). On suppose qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(D_p=Q^TD_qQ\) et on pose \(f:X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\longmapsto X^TD_pX\).

   1. Montrer qu’il existe deux sous-espaces vectoriels de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) tels que \(\forall X\in F\setminus\{0\}\) (resp. \(G\setminus\{0\}\)), \(f(X)>0\) (resp. \(f(X)<0\)).

   2. En déduire que \(p\leqslant q\), puis que \(p=q\).

5. Montrer que \((\mathscr{O}_p)_{0\leqslant p\leqslant n}\) est une partition de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

6. On suppose que les \(\Delta_k\) sont non nuls et qu’il existe \(Q\in\mathscr{M}_{n-1}(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure avec une diagonale de 1 telle que \(Q^TA_n^{-1}Q=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}/\Delta_{n-2})\).

   Montrer l’existence d’une matrice \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure à diagonale de 1 telle que \(P^TAP=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1})\).