Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3507] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011 Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mu_M\) le polynôme minimal de \(M\).

1. Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Exprimer \(\mu_{A^{-1}}\) en fonction de \(\mu_A\).

2. Soit \(A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\). On suppose que 1 et \(-1\) ne sont pas racines de \(\mu_A\). Montrer que \(\mu_A\) est un polynôme réciproque de degré pair.

3. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que : \(\mu_A=\mu_B\) et \(\mu_A\) est irréductible. Montrer que \(A\) et \(B\) sont orthogonalement semblables.

[oraux/ex0739] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et \(P^{-1}AP\) soit diagonale.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\) et \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits B=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B|\neq2\). On suppose de plus que \(A\) et \(B\) n’ont pas de vecteur propre commun. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) soient symétriques.

3. On fait sur \(A\) les mêmes hypothèses qu’à la question précédente. On suppose qu’il existe \((n_1,\ldots,n_k,m_1,\ldots,m_k)\in\mathbf{Z}^{2k}\) tel que : \(A^{n_1}B^{m_1}\ldots A^{n_k}B^{m_k}=I_2\).

   Montrer que \(A^{-n_1}B^{-m_1}\ldots A^{-n_k}B^{-m_k}=I_2\).

[oraux/ex0747] polytechnique MP 2009 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour toute matrice inversible \(P\), \(PS\) soit encore symétrique. Que dire de \(S\) ? Donner deux méthodes.

[oraux/ex5300] mines MP 2012 Soit \(A=(a_{i,j})\in {\cal S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\in\{1,\nobreak\ldots\unskip\nobreak ,n\}\), \(a_{i,i}=1\) et \(\sum\limits_{j=1}^n|a_{i,j}|\leqslant 2\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\in[0,1]\).

[oraux/ex6865] ens cachan MP 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. On fixe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le maximum de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+XB))\) pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

2. On se donne \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et on se place dans \(\mathbf{R}[X,Y]\). Montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA-YB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-YB)\hbox{ si et seulement si }AB=0.\]

[oraux/ex8834] ens PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de spectre réel. On suppose que, pour tout \(i\in[[1,n]]\), \(a_{i,i}=1\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\neq i}a_{i,j}\leqslant 1\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\) appartient à \([0,1]\).

[concours/ex0115] polytechnique PC 1996 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles, \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) les valeurs propres supposées distinctes de \(A\) ; \(x_1\), … , \(x_n\) une base orthonormée de vecteurs propres. Trouver un développement limité en \(0\) des valeurs propres \(\mu_i\) de \(A+\varepsilon B\) sous la forme : \[\mu_i=\lambda_i+\varepsilon\lambda_{i1}+\varepsilon^2\lambda_{i2}+ \cdots+\varepsilon^n\lambda_{in}+o(\varepsilon^n)\,.\] Même question pour les vecteurs propres \(y_i\).

[oraux/ex0464] centrale 2004 Soit \(D\) une matrice diagonale réelle de taille \(n\), de valeurs propres notées \(\lambda_1<\ldots<\lambda_n\). On se donne une matrice symétrique réelle \(V\), et pour \(\varepsilon>0\), on note \(\mu_1\leqslant\ldots\leqslant\mu_n\) les valeurs propres de \(M(\varepsilon)=D+\varepsilon V\) ; montrer que, pour tout \(i\), \(\mu_i\) admet un développement limité à tous ordres en \(\varepsilon\) lorsque ce dernier tend vers 0. Déterminer les deux premiers termes du développement.

[planches/ex6093] ens saclay, ens rennes MP 2021 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).

1. Montrer que \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

2. Montrer que pour tout \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U^*U=I_n\) et pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a \(\|UA\|=\|AU\|=\|A\|\).

3. Pour \((p,q)\in[[1,n]]^2\) tel que \(p\neq q\), pour tout \(\theta\in\mathbf{R}\), on note \(G(p,q,\theta)\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ayant les mêmes coefficients que \(I_n\) sauf éventuellement aux positions suivantes : \(G(p,q,\theta)_{p,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{q,q}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{p,q}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(G(p,q,\theta)_{q,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\). Montrer que \(\|G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\|=\|A\|\) pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

4. Soient \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(p<q\) dans \([[1,n]]\) tels que \(a_{p,q}\neq0\). Montrer qu’il existe un unique \(\theta\in\displaystyle\left]-{\pi\over4},0\right[\cup\left]0,{\pi\over4}\right[\) tel que, pour \(B=G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\), on ait \(b_{p,q}=0\) et \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nb_{i,i}^2=2a_{p,q}^2+\sum\limits_{i=1}^na_{i,i}^2\).

[oraux/ex3600] polytechnique MP 2011 Quelles sont les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \(PA\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) ?