[oraux/ex3512] ens paris MP 2011 Soient \(N\) un entier \(\geqslant 2\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant N}\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\). On suppose qu’il existe \(m\in\mathbf{N}\) tel que \(A^m\) a ses coefficients strictement positifs. On note \(\Omega_A=\{\omega\in\{1,\ldots,N\},\ \forall n\in\mathbf{Z},\ a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\}\).
[oraux/ex3512]
Montrer que \(\Omega_A\) est non vide. Soit \(\Theta:(u_n)_{n\in\mathbf{Z}}\mapsto(u_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). Montrer que \(\Theta\) induit une bijection de \(\Omega_A\) sur \(\Omega_A\).
On appelle orbite tout ensemble du type \(\{\Theta^n(\omega),\ n\in\mathbf{N}\}\) avec \(\omega\in\Omega_A\). On note \(\mathscr{O}_f\) l’ensemble des orbites finies. Soit \(g:x\mapsto\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{C\in\mathscr{O}_f}{1\over1-x^{\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(C)}}\). Montrer que \(g\) est définie au voisinage de 0. Montrer que \(g\) est une fraction rationnelle ; l’exprimer en fonction de \(A\).
[examen/ex3558] mines PSI 2025 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables sur \(\mathbf{R}\).
[examen/ex3558]
Donner un exemple de tel hyperplan.
Soit \(F=\left\{\pmatrix{a&b\cr-b&a}\right\}_{(a,b)\in\mathbf{R}^2}\). Montrer que \(F\cap V\neq\{0\}\) et en déduire que \(I_2\in V\).
On munit \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) de son produit scalaire canonique. Quelle est la dimension de \(V^\perp\) ?
Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(QVQ^{-1}=S_2(\mathbf{R})\).
[oraux/ex6865] ens cachan MP 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).
[oraux/ex6865]
On fixe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le maximum de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+XB))\) pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
On se donne \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et on se place dans \(\mathbf{R}[X,Y]\). Montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA-YB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-YB)\hbox{ si et seulement si }AB=0.\]
[concours/ex0115] polytechnique PC 1996 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles, \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) les valeurs propres supposées distinctes de \(A\) ; \(x_1\), … , \(x_n\) une base orthonormée de vecteurs propres. Trouver un développement limité en \(0\) des valeurs propres \(\mu_i\) de \(A+\varepsilon B\) sous la forme : \[\mu_i=\lambda_i+\varepsilon\lambda_{i1}+\varepsilon^2\lambda_{i2}+ \cdots+\varepsilon^n\lambda_{in}+o(\varepsilon^n)\,.\] Même question pour les vecteurs propres \(y_i\).
[concours/ex0115]
[oraux/ex1008] ens paris PC 2005 Soit \(E\) le sous-espace de \(\mathbf{R}^{2n}\) défini par : \[E=\left\{\vphantom{|_|}\smash{(x_1,\ldots,x_n,0,\ldots,0),\ (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n}\right\}.\] On munit \(\mathbf{R}^{2n}\) de sa structure euclidienne canonique. Soient \(f\in\mathscr{L}(E)\) et \(p\) le projecteur orthogonal de \(\mathbf{R}^{2n}\) sur \(E\). Montrer que \(f\) est lipschitzienne si et seulement s’il existe un endomorphisme \(u\) orthogonal de \(\mathbf{R}^{2n}\) tel que \(f=p\mathbin{\circ} u_{|E}\).
[oraux/ex1008]
[oraux/ex0747] polytechnique MP 2009 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour toute matrice inversible \(P\), \(PS\) soit encore symétrique. Que dire de \(S\) ? Donner deux méthodes.
[oraux/ex0747]
[oraux/ex0464] centrale 2004 Soit \(D\) une matrice diagonale réelle de taille \(n\), de valeurs propres notées \(\lambda_1<\ldots<\lambda_n\). On se donne une matrice symétrique réelle \(V\), et pour \(\varepsilon>0\), on note \(\mu_1\leqslant\ldots\leqslant\mu_n\) les valeurs propres de \(M(\varepsilon)=D+\varepsilon V\) ; montrer que, pour tout \(i\), \(\mu_i\) admet un développement limité à tous ordres en \(\varepsilon\) lorsque ce dernier tend vers 0. Déterminer les deux premiers termes du développement.
[oraux/ex0464]
[oraux/ex0739] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009
[oraux/ex0739]
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et \(P^{-1}AP\) soit diagonale.
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\) et \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits B=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B|\neq2\). On suppose de plus que \(A\) et \(B\) n’ont pas de vecteur propre commun. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) soient symétriques.
On fait sur \(A\) les mêmes hypothèses qu’à la question précédente. On suppose qu’il existe \((n_1,\ldots,n_k,m_1,\ldots,m_k)\in\mathbf{Z}^{2k}\) tel que : \(A^{n_1}B^{m_1}\ldots A^{n_k}B^{m_k}=I_2\).
Montrer que \(A^{-n_1}B^{-m_1}\ldots A^{-n_k}B^{-m_k}=I_2\).
[examen/ex3073] polytechnique, espci PC 2025 Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_p\).
[examen/ex3073]
Pour \(X\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), on pose \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\).
On écrit \(M\geqslant N\) pour signifier \(M-N\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(L(X^TX)\geqslant L(X^T)L(X)\).
[oraux/ex3600] polytechnique MP 2011 Quelles sont les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \(PA\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) ?
[oraux/ex3600]
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