Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0471] polytechnique MP 2005 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(\{X\in\mathbf{C}^n\mid X^*AX=X^*BX=0\}=\{0\}\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) et \(P^*BP\) soient triangulaires supérieures.

[concours/ex3278] ens lyon M 1993 Sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on définit la norme \(\left\|A\right\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\). Soit \(\mathscr{U}_n\) l’ensemble des matrices unitaires d’ordre \(n\).

1. Montrer que, pour tout \(U\) de \(\mathscr{U}_n\) et tout \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a : \[\left\|UA\right\|=\left\|AU\right\|=\left\|A\right\|.\] On considère des matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{U}_n\) et on pose \(C=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose \(AC=CA\) et \(\left\|I-B\right\|<\sqrt2\). On veut montrer que \(AB=BA\).

2. Montrer que \(A\) et \(BAB^{-1}\) commutent.

3. Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{U}_n\), des complexes \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) de module \(1\) et une permutation \(\sigma\) de \(\{1,\ldots,n\}\) tels que \(U^*AU=D\) et \(U^*BAB^{-1}U=D'\) avec \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) et \(D'=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_{\sigma(1)},\ldots,\lambda_{\sigma(n)})\).

4. Conclure.

[concours/ex3747] centrale M 1992 Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension finie et \(f\) une isométrie de \(E\).

1. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) est paire, alors \(f\) est une isométrie positive.

2. On suppose que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), soit \(g\) une isométrie telle que \(fg=gf\). Montrer que \(g\) est positive.

[examen/ex3263] mines MP 2025 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le nombre de matrices \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2\).

[planches/ex3198] polytechnique MP 2018 Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\in\mathbf{R}\). Déterminer le lieu \(L\) dans \(\mathbf{R}^2\) de la diagonale des matrices de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) c’est-à-dire : \[L=\left\{\vphantom{|_|}(S_{1,1},S_{2,2}),\ S\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\hbox{ et }\chi_S=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\right\}.\]

[oraux/ex8834] ens PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de spectre réel. On suppose que, pour tout \(i\in[[1,n]]\), \(a_{i,i}=1\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\neq i}a_{i,j}\leqslant 1\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\) appartient à \([0,1]\).

[oraux/ex0739] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et \(P^{-1}AP\) soit diagonale.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\) et \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits B=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B|\neq2\). On suppose de plus que \(A\) et \(B\) n’ont pas de vecteur propre commun. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) soient symétriques.

3. On fait sur \(A\) les mêmes hypothèses qu’à la question précédente. On suppose qu’il existe \((n_1,\ldots,n_k,m_1,\ldots,m_k)\in\mathbf{Z}^{2k}\) tel que : \(A^{n_1}B^{m_1}\ldots A^{n_k}B^{m_k}=I_2\).

   Montrer que \(A^{-n_1}B^{-m_1}\ldots A^{-n_k}B^{-m_k}=I_2\).

[planches/ex6087] ens saclay, ens rennes MP 2021

1. Pour \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), montrer que : \[\left|\matrix{A&B\cr0&C}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(C),\quad\left|\matrix{A&B\cr B&A}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A-B)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+B),\quad\left|\matrix{A&-B\cr B&A}\right|\geqslant 0.\]

   Le but de l’exercice est de démontrer que, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on a \(AB=0\) si et seulement si, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\).

2. Montrer le sens direct.

3. Soient \(M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et \(N\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que, pour tout \(t\in\mathbf{R}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M-tN)=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(N)\neq\{0\}\).

4. En déduire que si \(A\) et \(B\) sont deux éléments de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) tels que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\), alors il existe un vecteur propre de \(A\) appartenant au noyau de \(B\).

5. Conclure.

[planches/ex1711] polytechnique MP 2017 Soient \(n\) et \(d\) dans \(\mathbf{N}^*\). Soient \(M_1\), … , \(M_n\) dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kM_k=I_d\). On définit l’endomorphisme \(L\), de l’espace vectoriel \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) dans lui-même, par l’égalité \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kXM_k\).

Enfin, si \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), on écrit \(X\geqslant 0\) lorsque, pour tout \(Y\in\mathscr{M}_{d,1}(\mathbf{R})\), \({}^tYXY\geqslant 0\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\). Montrer que, si \(X\geqslant 0\), alors \(L(X)\geqslant 0\).

2. Montrer l’existence de \(p\in\mathbf{N}^*\), de \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbf{R})\) vérifiant \({}^tVV=I_d\), et d’un morphisme d’algèbres \(\pi\), de \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) vers \(\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), tel que \(\pi({}^tX)={}^t(\pi(X))\) et \(L(X)={}^tV\pi(X)V\), pour tout \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\).

3. Montrer que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L({}^tXX)-{}^t(L(X))L(X)\geqslant 0\).

[concours/ex0115] polytechnique PC 1996 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles, \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) les valeurs propres supposées distinctes de \(A\) ; \(x_1\), … , \(x_n\) une base orthonormée de vecteurs propres. Trouver un développement limité en \(0\) des valeurs propres \(\mu_i\) de \(A+\varepsilon B\) sous la forme : \[\mu_i=\lambda_i+\varepsilon\lambda_{i1}+\varepsilon^2\lambda_{i2}+ \cdots+\varepsilon^n\lambda_{in}+o(\varepsilon^n)\,.\] Même question pour les vecteurs propres \(y_i\).