Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5219] mines PC 2019 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que \(\chi_A=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(X-a_{k,k})\). Montrer que \(A\) est diagonale.

[planches/ex6889] mines PSI 2021

1. Déterminer la borne inférieure des \(\lambda\in\mathbf{R}_+\) tels que : \[\forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\quad\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T).\]

2. Déterminer la borne inférieure des \(\lambda\in\mathbf{R}_+\) tels que : \[\forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\quad|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)|\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T).\]

3. Généraliser ces résultats à \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Pour le second point, on comparera \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)|^{2/n}\) à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T)\).

[examen/ex0404] centrale MP 2023

1. Rappeler la définition de l’indicatrice d’Euler, exprimer \(\varphi(n)\) en fonction de sa décomposition en facteurs premiers.

2. Pour \(n\geqslant 2\), calculer \(\displaystyle\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\) (la somme étant restreinte aux diviseurs positifs).

3. En déduire le déterminant de \(A\), où \(A_{i,j}=i\wedge j\).

[planches/ex2019] mines MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R},\ \forall A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ (\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)^2\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits{}^tAA\}\).

2. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R},\ \forall A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A|^{2/n}\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits{}^tAA\}\).

[concours/ex0926] centrale MP 1997

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R}_+\mid\forall M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\quad\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\}\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R}_+\mid\forall M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\quad\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M\right)^2\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\}\).

[planches/ex5394] centrale PSI 2019

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) soit diagonalisable dans une base orthonormale.

2. Une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé sur \(\mathbf{R}\) est-elle trigonalisable dans une base orthonormale ?

[oraux/ex0779] mines MP 2009 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(f\in\mathscr{L}(E)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est triangulaire supérieure.

[ev.bilin/ex0075] Vrai ou faux ?

Toute matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé dans \(\mathbf{R}[X]\) est orthogonalement semblable à une matrice triangulaire.

[planches/ex3926] centrale PSI 2018 Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est orthotrigonalisable s’il existe \(P\in\mathscr{O}(n)\) et \(T\) triangulaire telles que \(M={}^tPDP\). On veut déterminer l’ensemble des matrices orthotrigonalisables.

1. Déterminer les matrices orthotrigonalisables de la forme \(\pmatrix{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

2. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que si le polynôme caractéristique de \(M\) est scindé dans \(\mathbf{R}\), alors \(M\) est orthotrigonalisable. Conclure.

[planches/ex2028] mines MP 2017 Soit \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Quel est le minimum de la fonction \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\) ?