Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1872] polytechnique, espci PC 2017 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que \({}^tAA\) et \(A{}^tA\) sont semblables.

[planches/ex1704] polytechnique MP 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathbf{R}\). Montrer que \(\lambda I_n-{}^tAA\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) si et seulement si \(\lambda I_n-A{}^tA\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\).

[planches/ex3463] mines MP 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(A{}^tA\) et \({}^tAA\) ont le même polynôme caractéristique.

2. Montrer que \(A{}^tA\) et \({}^tAA\) sont semblables.

[planches/ex2021] mines MP 2017 Montrer qu’une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est antisymétrique si et seulement si, pour toute matrice \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), la matrice \(P^{-1}AP\) est à diagonale nulle.

[oraux/ex8082] centrale PC 2014 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{L}(E)\) de trace nulle.

1. On suppose \(u\) symétrique.

   1. Montrer qu’il existe \(x\neq0\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

   2. Montrer, par récurrence, qu’il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.

2. On ne suppose plus \(u\) symétrique. Montrer que ce dernier résultat est encore vrai.

[concours/ex6500] polytechnique PC 2006 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe une unique matrice \(T\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), positive telle que \(T^2={}^tMM\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits M=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\).

3. On dit que \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est une isométrie partielle s’il existe un sous-espace \(E\) de \(\mathbf{R}^n\) tel que : \(\forall x\in E\), \(\|U(x)\|=\|x\|\) et que : \(\forall x\in E^\perp\), \(U(x)=0\).

   Montrer qu’il existe une isométrie partielle \(U\) de \(\mathbf{R}^n\) telle que \(M=UT\).

4. Montrer qu’il existe une et une seule isométrie partielle \(V\) de \(\mathbf{R}^n\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits V=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits M\) et \(M=VT\).

[oraux/ex3613] polytechnique MP 2011 Soient \(Q\) une forme quadratique positive sur \(\mathbf{R}^n\) et \(B\) la forme bilinéaire symétrique polaire. Soit \((a_i)_{1\leqslant i\leqslant p}\) une famille de vecteurs telle que, pour tout \(i\neq j\), \(B(a_i,a_j)<0\).

1. Soit \((c_i)_{1\leqslant i\leqslant p}\in\mathbf{R}^p\) tel que \(Q\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pc_ia_i\right)=0\). Montrer que \(Q\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^p|c_i|a_i\right)=0\).

2. On suppose maintenant que \((a_i)\) est une base de \(\mathbf{R}^n\). Montrer qu’alors le noyau de \(B\) est de dimension 1 ou 0.

3. Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\neq j\), \(a_{i,j}<0\). Que peut-on dire de la multiplicité de la plus petite valeurs propre de \(A\) ?

[examen/ex0404] centrale MP 2023

1. Rappeler la définition de l’indicatrice d’Euler, exprimer \(\varphi(n)\) en fonction de sa décomposition en facteurs premiers.

2. Pour \(n\geqslant 2\), calculer \(\displaystyle\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\) (la somme étant restreinte aux diviseurs positifs).

3. En déduire le déterminant de \(A\), où \(A_{i,j}=i\wedge j\).

[concours/ex0926] centrale MP 1997

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R}_+\mid\forall M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\quad\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\}\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R}_+\mid\forall M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\quad\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M\right)^2\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\}\).

[planches/ex2019] mines MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R},\ \forall A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ (\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)^2\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits{}^tAA\}\).

2. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R},\ \forall A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A|^{2/n}\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits{}^tAA\}\).