Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0028] polytechnique MP 1996 Soit \(S=(a_{ij})\) une matrice symétrique réelle dont tous les mineurs principaux sont non nuls. Montrer qu’il existe une matrice \(T\) triangulaire supérieure avec des \(1\) sur la diagonale et une matrice diagonale \(\Delta\) telle que \(S={}^tT\Delta T\) et calculer les termes de \(\Delta\).

Indication : traiter le cas d’une matrice \((2,2)\) puis le cas général.

[planches/ex5863] polytechnique MP 2020 Soient \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) telles que \(M=P^{-1}DP\). Pour \(j\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(M_j\) la sous-matrice de \(M\) obtenue en retirant les \(j\)-èmes ligne et colonne, et \(\lambda_1(M_j)\), … , \(\lambda_{n-1}(M_j)\) ses valeurs propres.

Montrer que pour tout \((i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \[p_{i,j}^2\mathop{\prod}\limits_{k\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{j\}}(\lambda_j-\lambda_k)=\mathop{\prod}\limits_{\ell=1}^{n-1}(\lambda_j-\lambda_\ell(M_i)).\]

[oraux/ex8218] polytechnique MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de déterminant 1.

1. Notant \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique sur \(\mathbf{R}^n\), montrer qu’il existe \(u\in\mathbf{R}^n\) tel que \(\|u\|=\|Au\|=1\).

2. Établir l’existence de \(\Omega\) et \(\Omega'\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et de \(T\) triangulaire supérieure dont la diagonale ne comporte que des 1 telles que \(A=\Omega T\Omega'\).

[oraux/ex0753] polytechnique MP 2009 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) antisymétriques. Montrer que le polynôme caractéristique de \(AB\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et que ses racines sont d’ordre pair.

[examen/ex1633] mines MP 2024 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) avec \(\lambda_i>0\) pour tout \(i\) telles que \(P^TM^TMP=D^2\).

2. On note \(V_1\), … , \(V_n\) les colonnes de \(MP\).

   Soit \(Q\) la matrice dont les colonnes sont \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_1}V_1\), … , \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_n}V_n\). Montrer que \(Q\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

3. Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M=ODO'\).

4. Montrer le même résultat si \(M\) est non inversible.

[concours/ex2145] polytechnique M 1995 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((x,y,z)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^n\times\mathbf{R}^n\). On pose \[M(x,y,z)=\left|\begin{array}{cccccc} x&y_1&y_2&\cdots&\cdots&y_n\\ y_1&z_1&0&\cdots&\cdots&0\\ y_2&0&z_2&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ y_{n-1}&0&\cdots&0&z_{n-1}&0\\ y_n&0&\cdots&\cdots&0&z_n \end{array}\right|.\]

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M(x,y,z)\).

2. On pose \(S=\{M(x,y,z)\ \hbox{positive}\}\), \(S_0=\{M(x,0,0)\mid x\geqslant 0\}\) et, pour \(1\leqslant i\leqslant n\), \[S_i=\{M\bigl(x,(0,\ldots,y_i,\ldots,0),(0,\ldots,z_i,\ldots,0)\bigr)\mid x\geqslant 0,\ z_i\geqslant 0,\ xz_i=y_i^2\}.\] Montrer que \(S=S_0+S_1+\cdots+S_n\).

[oraux/ex8193] ens paris MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(\mathscr{L}\) un endomorphisme de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que : \(\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}({}^tOSO)={}^tO\mathscr{L}(S)O\). Montrer qu’il existe \(\lambda\) et \(\mu\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(S)=\mu S+\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S)I_n\).

[examen/ex4282] ccinp PC 2025 Soit \(n\geqslant 2\). Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est dite orthodiagonalisable (resp. orthotrigonalisable) s’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^TMP\) est diagonale (resp. triangulaire supérieure). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est orthodiagonalisable, alors \(A\) est diagonalisable.

2. Montrer que \(A\) est orthodiagonalisable si et seulement si \(A\) est symétrique.

3. Donner un exemple de matrice de \(\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) diagonalisable et non symétrique.

4. Soit \(M\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) inversible. On note \((u_1,\dots,u_n)\) le système de ses vecteurs colonnes. On munit \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) de son produit scalaire usuel.

   1. Montrer qu’il existe une base orthonormée \((v_1,\ldots,v_n)\) telle que \[\forall j\in\{1,\dots,n\},\quad u_j=\sum\limits_{i=1}^j\langle u_j,v_i\rangle v_i.\]

   2. Montrer qu’il existe \(Q\) orthogonale et \(R\) triangulaire supérieure telles que \(M=QR\).

5. Soit \(A\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\). Montrer que \(A\) est orthotrigonalisable si et seulement si \(A\) est trigonalisable.

6. Que dire d’une matrice antisymétrique et trigonalisable ?

[examen/ex3864] centrale MP 2025 On pose, pour \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(N(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\left(\displaystyle\frac{|a_{i,j}|+|a_{j,i}|}{2}\right)\).

1. Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

2. L’application \(N\) est-elle une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

3. Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\). Montrer que \(|\lambda|\leqslant nN(A)\).

[examen/ex3257] mines MP 2025 Soient \(n\), \(m\in\mathbf{N}^*\), \(S\in\mathscr{S}_m(\mathbf{R})\). On pose \(A=\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S^{i+j-2})\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(n,\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\pi_S))\), où l’on a noté \(\pi_S\) le polynôme minimal de \(S\).