Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5946] centrale MP 2007

1. Soit \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(p\geqslant 2\) dans \(\mathbf{N}\) tel que \(PUP^{-1}=U^p\). Montrer que toutes les valeurs propres de \(U\) sont des racines de l’unité. En déduire qu’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\) tel que \(U^m=I_n\).

2. Montrer que tout morphisme du groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) est trivial.

[examen/ex3257] mines MP 2025 Soient \(n\), \(m\in\mathbf{N}^*\), \(S\in\mathscr{S}_m(\mathbf{R})\). On pose \(A=\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S^{i+j-2})\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(n,\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\pi_S))\), où l’on a noté \(\pi_S\) le polynôme minimal de \(S\).

[planches/ex9198] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). On pose \(J=\pmatrix{0_n & -I_n \cr I_n & 0_n}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\) et leur multiplicité.

2. Soit \(A \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice \(B \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

3. Que peut-on dire de la matrice \(BJB\) ?

4. Lorsque \(A\) est diagonale, calculer les valeurs propres de \(JA\).

5. Montrer plus généralement que toute valeur propre d’une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure.

[oraux/ex8025] polytechnique MP 2014 On munit \(\mathbf{C}^n\) de sa norme hermitienne canonique. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).Montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{X\in\mathbf{R}^n\setminus\{0\}}{\|AX\|\over\|X\|}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{X\in\mathbf{C}^n\setminus\{0\}}{\|AX\|\over\|X\|}.\]

[concours/ex7801] ens cachan MP 2008 Soit \(M=\left(\begin{array}{cccccc} 2&-1&0&\cdots&0&-1\\ -1&2&-1&0&&0\\ 0&-1&2&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&&\ddots&\ddots&\ddots&-1\\ -1&0&\cdots&0&-1&2\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est une matrice symétrique positive mais pas strictement positive.

2. Soit \(f\in C^3(\mathbf{R},\mathbf{C})\), 1-périodique. On pose \(F_n={}^t\left(\vphantom{|_|}f(1/n),f(2/n),\ldots,f(n/n)\right)\). On pose \(N(X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|x_k|,\ 1\leqslant k\leqslant n\}\) lorsque \(X={}^t(x_1,\ldots,x_n)\).

   On suppose que \(N(n^2MF_n+F_n)\rightarrow0\). Que dire de \(f\) ?

[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).

1. Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).

2. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[examen/ex4282] ccinp PC 2025 Soit \(n\geqslant 2\). Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est dite orthodiagonalisable (resp. orthotrigonalisable) s’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^TMP\) est diagonale (resp. triangulaire supérieure). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est orthodiagonalisable, alors \(A\) est diagonalisable.

2. Montrer que \(A\) est orthodiagonalisable si et seulement si \(A\) est symétrique.

3. Donner un exemple de matrice de \(\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) diagonalisable et non symétrique.

4. Soit \(M\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) inversible. On note \((u_1,\dots,u_n)\) le système de ses vecteurs colonnes. On munit \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) de son produit scalaire usuel.

   1. Montrer qu’il existe une base orthonormée \((v_1,\ldots,v_n)\) telle que \[\forall j\in\{1,\dots,n\},\quad u_j=\sum\limits_{i=1}^j\langle u_j,v_i\rangle v_i.\]

   2. Montrer qu’il existe \(Q\) orthogonale et \(R\) triangulaire supérieure telles que \(M=QR\).

5. Soit \(A\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\). Montrer que \(A\) est orthotrigonalisable si et seulement si \(A\) est trigonalisable.

6. Que dire d’une matrice antisymétrique et trigonalisable ?

[oraux/ex0490] polytechnique PC 2005 Soient \(u\) un vecteur unitaire de l’espace euclidien \(\mathbf{R}^n\) et \(P_u\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(u)\).

1. Montrer que \(P_u\) est symétrique positif et que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(P_u)=1\).

2. Soit \(A\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AP_u)\).

3. Soient \(A\in\mathscr{S}^+(\mathbf{R}^n)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=1\) et \(x\in\mathbf{R}^n\) unitaire. Montrer que \(\langle x,Ax\rangle\in[0,1]\).

4. Soient \(A\), \(B\in\mathscr{S}^+(\mathbf{R}^n)\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B=1\), et \(c\in\left]0,1\right[\) tel que \(P_u=cA+(1-c)B\). Montrer que \(A=B=P_u\).

[oraux/ex5581] centrale MP 2012 On note \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) l’ensemble des matrices réelles symétriques de taille \(n\) à coefficients positifs.

1. Une matrice de \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) peut-elle avoir une valeur propre strictement négative ? Que des valeurs propres strictement négatives ?

2. Soient \(A\in {\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\), \(\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\) ses valeurs propres, \((X_1,\ldots ,X_n)\) une base orthonormée telle que \(\forall i\in\{1,\ldots ,n\}\,\;A\,X_i=\lambda_i\,X_i\).

   Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on pose \(B(\alpha)=\left( \begin{array}{c|c} A&\alpha\,X_n\\ \hline \alpha\,{}^t\; X_n&0 \end{array}\right)\).

   1. Montrer que \(\lambda_1\),…, \(\lambda_{n-1}\) sont des valeurs propres de \(B(\alpha)\).

   2. On note \(\beta\) et \(\gamma\) les deux autres valeurs propres de \(B(\alpha)\). Exprimer \(\beta+\gamma\) et \(\beta\,\gamma\) en fonction de \(\lambda_n\) et \(\alpha\).

   3. Trouver \(A\in {\cal S}_2(\mathbf{R}^+)\) de valeurs propres \(-1\) et \(2\), et \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(B(\alpha)\) ait pour valeurs propres \(-1\), \(-2\) et \(4\).