Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1090] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Si \(G\) est un groupe, on note \(Z(G)\) son centre.

On pose \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})=\{A\in\mathcal M_n(\mathbf{C})\,,\, A^*A=I_n\}\) où \(A^*=\overline{A}^T\), l’ensemble des matrices unitaires.

1. Montrer que \(Z(G)\) est un sous-groupe de \(G\) et que \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne, c’est-à-dire telle que \(A^*=A\). Démontrer qu’il existe \(P\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) soit diagonale.

3. Démontrer que toute matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) s’écrit comme combinaison linéaire d’au plus quatre matrices unitaires.

4. Déterminer \(Z\left(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\right)\).

[planches/ex7558] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soient \(A_1\) et \(A_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. Toute combinaison linéaire de \(A_1\) et \(A_2\) est diagonalisable ;

2. une, et une seule, des propriétés suivantes est vraie :

   • toute combinaison linéaire non nulle de \(A_1\) et \(A_2\) admet deux valeurs propres réelles distinctes ;

   • les matrices \(A_1\) et \(A_2\) sont codiagonalisables ;

3. il existe \(S\in\mathscr{S}_2^{++}(\mathbf{R})\) telle que, pour toute combinaison linéaire \(A\) de \(A_1\) et \(A_2\), on ait \(SA\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).

[oraux/ex0909] centrale MP 2010 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante sur \(U\) pour qu’il existe \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\) soit dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

1. On suppose dans cette question qu’une telle matrice \(V\) existe.

   1. Montrer que \(UV=VU\) et que \(U^2-V^2=I_n\).

   2. En déduire que toute valeur propre \(\lambda\) de \(U\) est dans \([-1,1]\) et que, si \(|\lambda|<1\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\right)\) est paire.

2. Réciproquement, soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\subset[-1,1]\) et que, pour tout \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\cap\left]-1,1\right[\), la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est paire. Établir l’existence de \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex1710] polytechnique MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on appelle espace associé de \(S\) le sous-espace engendré par les sous-espaces propres de \(S\) associés à des valeurs propres non nulles.

1. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’on peut écrire \(S=S^+-S^-\) où \(S^+\) et \(S^-\) sont dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et où les espaces associés de \(S^+\) et \(S^-\) sont orthogonaux.

2. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe un unique \(C\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) tel que \(C^2=S^2\). On note \(C=|S|\).

3. Montrer que si \(S=S^+-S^-\) est une décomposition de \(S\) comme en 1), alors \(|S|=S^++S^-\).

   Soit \(E_n=\{M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=1\}\). Pour \((S,T)\in E_n^2\), soit \(d(S,T)=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(|T-S|)\).

4. Indiquer la forme des éléments de \(E_2\). Calculer \(d(S,T)\) pour \(S\) et \(T\) dans \(E_2\).

5. Montrer, pour \(S\) et \(T\) dans \(E_n\), \(d(S,T)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(R(T-S)),\ R\in P_n\}\) où \(P_n\) désigne l’ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[examen/ex1220] ens PC 2024 Soit \(n\in\mathbf{N}\) et \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En notant \((s_1,\ldots ,s_n)\) les valeurs propres de \(M\), on pose \(N_p(M) = \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n |s_i|^p\right)^{1/p}\).

1. Montrer que \((A,B)\mapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)\) est un produit scalaire sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En déduire que \(N_2\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

2. Montrer que \(N_1(M) = \mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits (MO)|,\; O\in \mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). En déduire que \(N_1\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

[concours/ex5946] centrale MP 2007

1. Soit \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(p\geqslant 2\) dans \(\mathbf{N}\) tel que \(PUP^{-1}=U^p\). Montrer que toutes les valeurs propres de \(U\) sont des racines de l’unité. En déduire qu’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\) tel que \(U^m=I_n\).

2. Montrer que tout morphisme du groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) est trivial.

[planches/ex8754] centrale PC 2022 Pour \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\), on note \(O_S=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\ :\ M^TSM=S\}\). On pose \(E=\displaystyle\mathop{\bigcap}\limits_{S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})}O_S\).

1. Montrer que \(O_S\) est borné dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) pour tout \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Qu’en déduire sur \(E\) ?

2. Montrer que \(PMP^{-1}\in E\) pour tout \(M\in E\) et tout \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

3. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\{PMP^{-1},\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\) soit bornée.

4. En déduire que \(E=\{I_n,-I_n\}\).

[oraux/ex0696] centrale MP 2008 (avec Maple)

1. Déterminer toutes les matrices \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2}\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) telles que \(a_{1,1}\) soit égal à la plus petite valeur propre de \(A\).

2. Déterminer toutes les matrices \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\) telles que \(a_{1,1}\) soit égal à la plus petite valeur propre de \(A\) et \(a_{3,3}\) à la plus grande.

[oraux/ex0633] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien. Si \(v\in E\setminus\{0\}\), soit \(\varphi_v:x\in E\mapsto2\displaystyle{\langle v,x\rangle\over\langle u,v\rangle}\) et \(I_v=\{w\in E,\ \varphi_v(w)\in\mathbf{Z}\}\).

1. Déterminer \(I_v\).

2. Deux vecteurs non colinéaires \(v\) et \(w\) sont dits en position radicielle si \(v\in I_w\) et \(w\in I_v\). Montrer que l’ensemble des vecteurs en position radicielle avec \(v\) est stable par toute transformation orthogonale dont \(v\) est vecteurs propre. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2\) cet ensemble est la réunion de \(v^\perp\setminus\{0\}\) et d’un ensemble fini à préciser. Généraliser en dimension quelconque.

[examen/ex2235] centrale MP 2024

1. Soit \(M\in\mathscr{S}_d(\mathbb{R})\). Montrer que le spectre de \(M\) est inclus dans \(\mathbf{R}^+\) si et seulement si \(\forall x\in\mathbb{R}^d\), \(\langle Mx,x\rangle\geqslant 0\).

2. Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d\). On pose, pour \(X\in\mathscr{S}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\). Montrer que \(\mathscr{L}\) préserve le caractère symétrique positif.

3. Donner \(p\in\mathbb{N}\), \(\Pi:\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\rightarrow\mathscr{M}_p(\mathbb{R})\) morphisme d’algèbre vérifiant \(\Pi(X^T)=\Pi(X)^T\) et \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbb{R})\) vérifiant \(V^TV=I_d\) tels que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=V^T\Pi(X)V\).

   Pour \(M\), \(N\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\), on note \(M\geqslant N\) si et seulement si \(M-N\) est symétrique positive.

4. Montrer \(\mathscr{L}(X^TX)\geqslant\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

5. On suppose qu’il existe \(\mathscr{K}\) du même type que \(\mathscr{L}\) tel que \(\mathscr{L}\mathbin{\circ}\mathscr{K}=\mathscr{K}\mathbin{\circ}\mathscr{L}=\mathscr{I}\). Montrer que : \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X^TX)=\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).