Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7858] polytechnique MP 2013 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(a_1\), … , \(a_n\), \(b_1\), … , \(b_n\) des réels tels que \(a_1\geqslant a_2\geqslant\cdots\geqslant a_n\geqslant 0\) et \(b_1\geqslant b_2\geqslant\cdots\geqslant b_n\geqslant 0\).

1. Soit \(S\) l’application de \(\mathfrak{S}_n\) dans \(\mathbf{R}\) qui à \(\sigma\) associe \(S(\sigma)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_kb_{\sigma(k)}\). Déterminer le maximum et le minimum de \(S\).

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices diagonales dont les termes diagonaux sont, respectivement et dans cet ordre \(a_1\), … , \(a_n\) et \(b_1\), … , \(b_n\). Pour \(U\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), on pose \(f(U)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AUBU^{-1})\). Déterminer le maximum de \(f\).

3. Soient \(A_1\), … , \(A_n\), \(B_1\), … , \(B_n\) des points distincts du plan. Existe-t-il une permutation \(\sigma\) de \([[1,n]]\) telle que \(\forall(i,j)\), \(i\neq j\Rightarrow[A_iB_{\sigma(i)}]\cap[A_jB_{\sigma(j)}]=\varnothing\) ?

[examen/ex3271] mines MP 2025 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique couple \((O,S)\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\times\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) tel que \(M=OS\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM),\ A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).

[oraux/ex0526] centrale MP 2005 Soient \(S\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) symétrique de valeurs propres \(\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n\), \(g:[\lambda_1,\lambda_n]\rightarrow\mathbf{R}\) une application convexe et \(E=\{OSO^{-1},\ O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).

1. Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in E\). Montrer que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(\lambda_1\leqslant a_{i,i}\leqslant\lambda_n\). En déduire : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\left\{\sum\limits_{i=1}^ng(a_{i,i}),\ A\in E\right\}=\sum\limits_{k=1}^ng(\lambda_k)\).

2. Soit \(u\) un endomorphisme autoadjoint d’un espace vectoriel euclidien et \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une application convexe. On note \(p_{\lambda,u}\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\), et on pose \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)}f(\lambda)p_{\lambda,u}\). Montrer que pour tous \(u\), \(v\) autoadjoints et \(t\) dans \([0,1]\), on a \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f((1-t)u+tv))\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits((1-t)f(u)+tf(v))\).

[oraux/ex8168] centrale MP 2015 (avec Python)

Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On cherche à établir l’existence de \(\Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.

1. Démontrer le résultat pour \(n=2\) et expliciter, en fonction de \(A\), une matrice \(\Omega\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.

2. On pose \(A=\pmatrix{0&2\cr2&1}\). Donner, à l’aide de Python, \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) de diagonale constante.

3. Soit \(\Gamma=\{ {}^t\Omega A\Omega,\ \Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). Montrer que \(\Gamma\) est compact.

4. Soit \(f:M\in\Gamma\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(i,j)\in[[1,n]]^2}|M_{i,i}-M_{j,j}|\). Montrer que \(f\) présente un minimum.

5. En déduire le résutat annoncé.

[oraux/ex0431] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace hermitien et \(\mathscr{H}(E)\) l’espace réel des endomorphismes hermitiens de \(E\). Si \(u\in\mathscr{H}(E)\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\) le spectre de \(u\) et, pour \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\), \(p_\lambda\) le projecteur orthogonal de \(E\) sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Si \(f\) est une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on pose : \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u}f(\lambda)p_\lambda\).

Soit désormais \(f\) une application convexe de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Pour \(t\in[0,1]\) et \((u,v)\in\mathscr{H}(E)^2\), comparer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}(1-t)f(u)+tf(v)\right)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)u+tv)\right)\).