Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5347] centrale MP 2019 Soit \((E,(\ |\ ))\) un espace euclidien ; soit \(u\in\mathscr{L}(E)\).

1. Montrer qu’il existe un unique \(v\in\mathscr{L}(E)\) tel que : \(\forall(x,y)\in E^2\), \((u(x)|y)=(x|v(y))\). On le notera \(u^*\).

2. Montrer que tout endomorphisme trigonalisable de \(E\) est trigonalisable en base orthonormée.

3. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(u^*\in\mathbf{R}[u]\). Que peut-on dire si \(u^*\not\in\mathbf{R}[u]\) ?

[planches/ex2024] mines MP 2017 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) s’écrit de façon unique sous la forme \(S+A\), avec \(S\) symétrique et \(A\) antisymétrique. Montrer que \(M\) et \({}^tM\) commutent si et seulement si \(S\) et \(A\) commutent.

2. On suppose dans cette question que \(A\) est inversible. Montrer que \(n\) est pair et qu’il existe \(\alpha_1\), … , \(\alpha_p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(A=P^{-1}BP\) avec \(B=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(B_1,\ldots,B_p)\) et \(B_i=\pmatrix{0&-\alpha_i\cr\alpha_i&0}\).

3. On suppose que \(M{}^tM={}^tMM\). Montrer qu’existent des réels \(\lambda_1\), … , \(\lambda_r\), \(\alpha_1\), … , \(\alpha_s\), des réels strictement positifs \(\beta_1\), … , \(\beta_s\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(M=P^{-1}CP\) avec : \[C=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(C_1,\ldots,C_s,\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\quad\hbox{et}\quad C_i=\pmatrix{\alpha_i&-\beta_i\cr\beta_i&\alpha_i}.\]

[planches/ex3206] polytechnique MP 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On pose \(A^*={}^t\overline A\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

• \(AA^*=A^*A\) ;

• il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(UU^*=I_n\) et \(UAU^*\) diagonale ;

• \(A^*\) est un polynôme en \(A\).

[examen/ex4305] centrale MP 2025 (avec Python)

On considère que deux matrices sont égales si leurs coefficients diffèrent de moins de \(\varepsilon=10^{-12}\).

1. 1. Écrire une fonction Python test_orthogonal(A) qui vérifie si la matrice \(A\) est orthogonale. La tester pour \(M=\frac{1}{9}\pmatrix{7&-4&4\cr4&8&1\cr4&-1&-8}\).

      Un endomorphisme d’un espace euclidien est normal s’il commute avec son adjoint.

   2. Écrire une fonction Python test_normal(A) qui vérifie si une matrice \(A\) est normale. Vérifier que \(M\) est normale.

   3. Écrire une fonction Python genere_ mat_normale(n) qui génère aléatoirement une matrice normale de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients dans \([\![-9,9]\!]\), qui ne soit ni symétrique ni antisymétrique. Afficher le nombre de tours de boucle.

2. Soient \(E\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{L}(E)\).

   1. Montrer que, si un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est stable par \(u\), son orthogonal est stable par \(u^*\).

   2. On suppose que \(u\) est normal. Montrer que, pour \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)\), l’orthogonal de l’espace propre \(E_\lambda(u)\) est stable par \(u\).

   On veut montrer que si \(u\) est normal, il existe une base \(B\) orthogonale dans laquelle \(u\) a une matrice diagonale par blocs de taille 1 ou 2, les blocs de taille 2 étant de la forme \(\pmatrix{a&b\cr-b&a}\) avec \(b\neq0\).

   On procède par récurrence sur la dimension de l’espace \(E\), et on remarque que c’est vrai en dimension 1.

   Supposons le résultat acquis jusqu’en dimension \(n\) et soit \(u\) un endomorphisme normal d’un espace euclidien \(E\) de dimension \(n+1\).

3. Supposons que \(u\) a une valeur propre réelle. Conclure en utilisant l’hypothèse de récurrence sur un endomorphisme d’un espace de dimension strictement inférieure.

4. On suppose maintenant que \(u\) n’a aucune valeur propre réelle.

   1. Soit \(Q\) un facteur irréductible de \(\pi_u\). Quel est le degré de \(Q\) ?

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits Q(u)\neq\{0\}\).

   3. Soit \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) une matrice normale sans valeur propre réelle.

      Montrer l’existence de \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) avec \(b\neq0\) tels que \(M=\pmatrix{a&b\cr-b&a}\).

   4. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits Q(u)\) est stable par \(u\) et \(u^*\).

   5. Conclure.

[oraux/ex0427] polytechnique 2004 Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des matrices normales, c’est-à-dire des matrices complexes \(M\) telles que \(MM^*=M^*M\).

1. Montrer que \(M\) est dans \(\mathscr{H}\) si et seulement si existent deux matrices hermitiennes \(H\) et \(K\) commutant entre elles et telles que \(M=H+iK\).

2. Montrer qu’une matrice normale est diagonalisable.

3. Montrer que, si \(M\) est normale, il existe \(P\in\mathbf{C}[X]\) tel que \(M^*=P(M)\).

4. Vérifier que \(\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

5. Soit \(C\) une matrice complexe et \(A\), \(B\) des matrices normales telles que \(AC=CB\). Montrer que \(C^*A=BC^*\).