Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2024] mines MP 2017 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) s’écrit de façon unique sous la forme \(S+A\), avec \(S\) symétrique et \(A\) antisymétrique. Montrer que \(M\) et \({}^tM\) commutent si et seulement si \(S\) et \(A\) commutent.

2. On suppose dans cette question que \(A\) est inversible. Montrer que \(n\) est pair et qu’il existe \(\alpha_1\), … , \(\alpha_p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(A=P^{-1}BP\) avec \(B=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(B_1,\ldots,B_p)\) et \(B_i=\pmatrix{0&-\alpha_i\cr\alpha_i&0}\).

3. On suppose que \(M{}^tM={}^tMM\). Montrer qu’existent des réels \(\lambda_1\), … , \(\lambda_r\), \(\alpha_1\), … , \(\alpha_s\), des réels strictement positifs \(\beta_1\), … , \(\beta_s\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(M=P^{-1}CP\) avec : \[C=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(C_1,\ldots,C_s,\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\quad\hbox{et}\quad C_i=\pmatrix{\alpha_i&-\beta_i\cr\beta_i&\alpha_i}.\]

[planches/ex9769] mines MP 2023 On munit \(E=\mathbf{R}^n\) munit du produit scalaire usuel. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(A\). Montrer que \(F^\perp\) est stable par \(A^T\).

2. On suppose \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(A^TA=AA^T\). Montrer que \(A\) est diagonalisable ou \(A\) est semblable à une matrice de la forme \(\pmatrix{\lambda&0&0\cr0&\alpha&-\beta\cr0&\beta&\alpha}\) avec \(\beta\neq 0\).

[planches/ex5347] centrale MP 2019 Soit \((E,(\ |\ ))\) un espace euclidien ; soit \(u\in\mathscr{L}(E)\).

1. Montrer qu’il existe un unique \(v\in\mathscr{L}(E)\) tel que : \(\forall(x,y)\in E^2\), \((u(x)|y)=(x|v(y))\). On le notera \(u^*\).

2. Montrer que tout endomorphisme trigonalisable de \(E\) est trigonalisable en base orthonormée.

3. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(u^*\in\mathbf{R}[u]\). Que peut-on dire si \(u^*\not\in\mathbf{R}[u]\) ?

[planches/ex3206] polytechnique MP 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On pose \(A^*={}^t\overline A\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

• \(AA^*=A^*A\) ;

• il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(UU^*=I_n\) et \(UAU^*\) diagonale ;

• \(A^*\) est un polynôme en \(A\).

[oraux/ex8167] centrale MP 2015 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

   1. Montrer qu’il existe un unique couple \((A,S)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\) tel que : \(M=A+S\), \({}^tA=-A\), \({}^tS=S\).

   2. Montrer que \(M\) et \({}^tM\) commutent si et seulement si \(A\) et \(S\) commutent.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^tA=-A\). On suppose que \(A\) est inversible. Montrer que \(n\) est pair et qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \((a_1,\ldots,a_p)\in(\mathbf{R}_+^*)^p\) tels que \(A=PDP^{-1}\) où \(D\) est une matrice diagonale par blocs avec des blocs \(D_1\), … , \(D_p\), où \(D_i=\pmatrix{0&-a_i\cr a_i&0}\).

3. Énoncer et prouver un théorème de réduction pour les matrices normales de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), c’est-à-dire les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M{}^tM={}^tMM\).