Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5394] centrale PSI 2019

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) soit diagonalisable dans une base orthonormale.

2. Une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé sur \(\mathbf{R}\) est-elle trigonalisable dans une base orthonormale ?

[ev.bilin/ex0075] Vrai ou faux ?

Toute matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé dans \(\mathbf{R}[X]\) est orthogonalement semblable à une matrice triangulaire.

[planches/ex9785] mines MP 2023 Soit \(A=(a_{i,j})\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que \(a_{1,1}\), … , \(a_{n,n}\) sont les valeurs propres de \(A\) prises avec multiplicité. Montrer que \(A\) est diagonale.

[planches/ex9769] mines MP 2023 On munit \(E=\mathbf{R}^n\) munit du produit scalaire usuel. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(A\). Montrer que \(F^\perp\) est stable par \(A^T\).

2. On suppose \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(A^TA=AA^T\). Montrer que \(A\) est diagonalisable ou \(A\) est semblable à une matrice de la forme \(\pmatrix{\lambda&0&0\cr0&\alpha&-\beta\cr0&\beta&\alpha}\) avec \(\beta\neq 0\).

[planches/ex5347] centrale MP 2019 Soit \((E,(\ |\ ))\) un espace euclidien ; soit \(u\in\mathscr{L}(E)\).

1. Montrer qu’il existe un unique \(v\in\mathscr{L}(E)\) tel que : \(\forall(x,y)\in E^2\), \((u(x)|y)=(x|v(y))\). On le notera \(u^*\).

2. Montrer que tout endomorphisme trigonalisable de \(E\) est trigonalisable en base orthonormée.

3. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(u^*\in\mathbf{R}[u]\). Que peut-on dire si \(u^*\not\in\mathbf{R}[u]\) ?