Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5394] centrale PSI 2019

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) soit diagonalisable dans une base orthonormale.

2. Une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé sur \(\mathbf{R}\) est-elle trigonalisable dans une base orthonormale ?

[planches/ex1458] ens paris MP 2017

1. Un endomorphisme diagonalisable d’un espace euclidien \(E\) est-il diagonalisable en base orthonormée ?

2. Même question pour un endomorphisme trigonalisable.

[oraux/ex0427] polytechnique 2004 Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des matrices normales, c’est-à-dire des matrices complexes \(M\) telles que \(MM^*=M^*M\).

1. Montrer que \(M\) est dans \(\mathscr{H}\) si et seulement si existent deux matrices hermitiennes \(H\) et \(K\) commutant entre elles et telles que \(M=H+iK\).

2. Montrer qu’une matrice normale est diagonalisable.

3. Montrer que, si \(M\) est normale, il existe \(P\in\mathbf{C}[X]\) tel que \(M^*=P(M)\).

4. Vérifier que \(\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

5. Soit \(C\) une matrice complexe et \(A\), \(B\) des matrices normales telles que \(AC=CB\). Montrer que \(C^*A=BC^*\).

[oraux/ex3605] polytechnique MP 2011 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que les valeurs propres de \(A\) sont : \(a_{1,1}\), \(a_{2,2}\), … , \(a_{n,n}\) (en tenant compte des ordres de multiplicité). Montrer que \(A\) est diagonale.

[planches/ex2024] mines MP 2017 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) s’écrit de façon unique sous la forme \(S+A\), avec \(S\) symétrique et \(A\) antisymétrique. Montrer que \(M\) et \({}^tM\) commutent si et seulement si \(S\) et \(A\) commutent.

2. On suppose dans cette question que \(A\) est inversible. Montrer que \(n\) est pair et qu’il existe \(\alpha_1\), … , \(\alpha_p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(A=P^{-1}BP\) avec \(B=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(B_1,\ldots,B_p)\) et \(B_i=\pmatrix{0&-\alpha_i\cr\alpha_i&0}\).

3. On suppose que \(M{}^tM={}^tMM\). Montrer qu’existent des réels \(\lambda_1\), … , \(\lambda_r\), \(\alpha_1\), … , \(\alpha_s\), des réels strictement positifs \(\beta_1\), … , \(\beta_s\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(M=P^{-1}CP\) avec : \[C=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(C_1,\ldots,C_s,\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\quad\hbox{et}\quad C_i=\pmatrix{\alpha_i&-\beta_i\cr\beta_i&\alpha_i}.\]