Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5394] centrale PSI 2019

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) soit diagonalisable dans une base orthonormale.

2. Une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé sur \(\mathbf{R}\) est-elle trigonalisable dans une base orthonormale ?

[ev.bilin/ex0075] Vrai ou faux ?

Toute matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé dans \(\mathbf{R}[X]\) est orthogonalement semblable à une matrice triangulaire.

[oraux/ex0427] polytechnique 2004 Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des matrices normales, c’est-à-dire des matrices complexes \(M\) telles que \(MM^*=M^*M\).

1. Montrer que \(M\) est dans \(\mathscr{H}\) si et seulement si existent deux matrices hermitiennes \(H\) et \(K\) commutant entre elles et telles que \(M=H+iK\).

2. Montrer qu’une matrice normale est diagonalisable.

3. Montrer que, si \(M\) est normale, il existe \(P\in\mathbf{C}[X]\) tel que \(M^*=P(M)\).

4. Vérifier que \(\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

5. Soit \(C\) une matrice complexe et \(A\), \(B\) des matrices normales telles que \(AC=CB\). Montrer que \(C^*A=BC^*\).

[planches/ex9769] mines MP 2023 On munit \(E=\mathbf{R}^n\) munit du produit scalaire usuel. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(A\). Montrer que \(F^\perp\) est stable par \(A^T\).

2. On suppose \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(A^TA=AA^T\). Montrer que \(A\) est diagonalisable ou \(A\) est semblable à une matrice de la forme \(\pmatrix{\lambda&0&0\cr0&\alpha&-\beta\cr0&\beta&\alpha}\) avec \(\beta\neq 0\).

[oraux/ex8167] centrale MP 2015 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

   1. Montrer qu’il existe un unique couple \((A,S)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\) tel que : \(M=A+S\), \({}^tA=-A\), \({}^tS=S\).

   2. Montrer que \(M\) et \({}^tM\) commutent si et seulement si \(A\) et \(S\) commutent.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^tA=-A\). On suppose que \(A\) est inversible. Montrer que \(n\) est pair et qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \((a_1,\ldots,a_p)\in(\mathbf{R}_+^*)^p\) tels que \(A=PDP^{-1}\) où \(D\) est une matrice diagonale par blocs avec des blocs \(D_1\), … , \(D_p\), où \(D_i=\pmatrix{0&-a_i\cr a_i&0}\).

3. Énoncer et prouver un théorème de réduction pour les matrices normales de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), c’est-à-dire les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M{}^tM={}^tMM\).